Ôn tập chương — Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Trắc nghiệm · Tự luận: tỉ số lượng giác, giải tam giác vuông, toán thực tế
✨ Lý thuyết trọng tâm cần nhớ
📖 Nhắc lại 1
Tỉ số lượng giác & góc phụ nhau
- $\sin\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$, $\cos\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}$, $\tan\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$, $\cot\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}$; $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
- Hai góc phụ nhau: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$, $\tan(90^\circ-\alpha)=\cot\alpha$.
📖 Nhắc lại 2
Hệ thức cạnh – góc & giải tam giác vuông
- $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $b=a\sin B=a\cos C$, $c=a\sin C=a\cos B$; $b=c\tan B$, $c=b\tan C$.
- Giải tam giác vuông: kết hợp Pythagore, tổng hai góc nhọn $=90^\circ$ và các hệ thức trên.
✍ Phần I — Trắc nghiệm
I Đáp án & giải thích nhanh
🔑 Lời giải
Dùng Nhắc lại 1 & 2: mỗi câu quy về một tam giác vuông rồi áp dụng tỉ số lượng giác / hệ thức.- Câu 1. $AB=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt7$; $\tan C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2\sqrt7}{6}\approx0{,}88$. ⟹ C. $0{,}88$.
- Câu 2. Ghép góc phụ nhau: $\tan20^\circ\tan70^\circ=\tan40^\circ\tan50^\circ=\tan30^\circ\tan60^\circ=1$, tích $=1$. ⟹ B. $1$.
- Câu 3. Khoảng cách $=\dfrac{149}{\tan27^\circ}\approx292$. ⟹ A. $292\,$m.
- Câu 4. $NP=MI(\cot70^\circ+\cot38^\circ)=11{,}5(0{,}364+1{,}280)\approx18{,}9$. ⟹ B. $18{,}9\,$cm.
- Câu 5. Chân thang cách tường $=3\sin40^\circ\approx1{,}9$. ⟹ A. $1{,}9\,$m.
- Câu 6. Quãng đường $3$ phút $=450\cdot\dfrac{3}{60}=22{,}5$; độ cao $=22{,}5\sin30^\circ=11{,}25$. ⟹ D. $11{,}25\,$km.
⚠️ Bẫy câu 5: góc cho là góc giữa thang và bờ tường (phương thẳng đứng), nên khoảng cách chân thang–tường dùng $\sin$. Nếu là góc với mặt đất thì mới dùng $\cos$.
✍ Phần II — Tự luận
1 Tìm số đo góc nhọn
Tìm $\alpha$ (đến phút) biết: a) $\sin\alpha=0{,}25$; b) $\cos\alpha=0{,}75$; c) $\tan\alpha=1$; d) $\cot\alpha=2$.
🔑 Lời giải
Dùng Nhắc lại 1: dùng phím nghịch đảo; với $\cot$ đổi sang $\tan=\dfrac{1}{\cot}$.- a) $\alpha=\sin^{-1}0{,}25\approx\mathbf{14^\circ29'}$.
- b) $\alpha=\cos^{-1}0{,}75\approx\mathbf{41^\circ25'}$.
- c) $\tan\alpha=1\Rightarrow\alpha=\mathbf{45^\circ}$.
- d) $\cot\alpha=2\Rightarrow\tan\alpha=0{,}5\Rightarrow\alpha\approx\mathbf{26^\circ34'}$.
2 Tỉ số lượng giác từ một tỉ số đã biết
Cho $\sin\alpha=0{,}8$; tính $\cos\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha$. Cho $\triangle ABC$ vuông $A$, $AB=18$, $AC=24$; tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.
🔑 Lời giải
Dùng Nhắc lại 1: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ và $\tan=\dfrac{\sin}{\cos}$.- $\cos\alpha=\sqrt{1-0{,}8^2}=\sqrt{0{,}36}=\mathbf{0{,}6}$; $\tan\alpha=\dfrac{0{,}8}{0{,}6}=\mathbf{\dfrac43}$; $\cot\alpha=\mathbf{\dfrac34}$.
- $BC=\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{900}=30$. Với góc $B$: $\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{24}{30}=\mathbf{0{,}8}$; $\cos B=\dfrac{18}{30}=\mathbf{0{,}6}$; $\tan B=\dfrac{24}{18}=\mathbf{\dfrac43}$; $\cot B=\mathbf{\dfrac34}$.
3 Tính giá trị biểu thức & chứng minh
a) $A=4-\sin^2 45^\circ+2\cos^2 60^\circ-3\cot^2 45^\circ$; b) $B=\tan45^\circ\cos30^\circ\cot30^\circ$; c) $C=\sin15^\circ+\sin75^\circ-\cos15^\circ-\cos75^\circ+\sin30^\circ$; d) chứng minh $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sin B}{\sin C}$ với $\triangle ABC$ vuông tại $A$.
🔑 Lời giải
Dùng Nhắc lại 1: thay góc đặc biệt; câu c dùng góc phụ nhau.- a) $A=4-\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2+2\left(\dfrac12\right)^2-3(1)^2=4-\dfrac12+\dfrac12-3=\mathbf{1}$.
- b) $B=1\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3=\mathbf{\dfrac32}$.
- c) Vì $\sin75^\circ=\cos15^\circ$ và $\cos75^\circ=\sin15^\circ$ nên $\sin15^\circ+\sin75^\circ-\cos15^\circ-\cos75^\circ=0$; còn lại $C=\sin30^\circ=\mathbf{\dfrac12}$.
- d) $\sin B=\dfrac{AC}{BC}$, $\sin C=\dfrac{AB}{BC}$ ⟹ $\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{AC/BC}{AB/BC}=\dfrac{AC}{AB}$ (đpcm).
⚠️ Bẫy câu c: nhận ra ngay các cặp góc phụ nhau ($15^\circ$–$75^\circ$) để triệt tiêu, đừng bấm máy từng số rồi cộng (dễ sai số).
4 Giải tam giác vuông & ứng dụng
a) $\triangle OPQ$ vuông $O$, $\widehat{P}=39^\circ$, $PQ=10$: giải tam giác. b) $PQ=203$, góc hạ $38^\circ$ và $44^\circ$: tính chiều cao tháp. c) Hai tàu từ $A$ theo hướng lệch $60^\circ$, tốc độ $20$ và $15$ hải lí/giờ; sau $1{,}5$ giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu?
🔑 Lời giải
Dùng Nhắc lại 2: hệ thức cạnh–góc; câu c dùng định lí côsin.- a) $\widehat{Q}=51^\circ$; $OQ=PQ\sin P=10\sin39^\circ\approx\mathbf{6{,}29}$; $OP=PQ\cos P=10\cos39^\circ\approx\mathbf{7{,}77}$.
- b) Gọi $h$ là chiều cao; khoảng cách ngang $h\cot38^\circ$ và $h\cot44^\circ$, hiệu bằng $PQ$: $h(\cot38^\circ-\cot44^\circ)=203\Rightarrow h=\dfrac{203}{1{,}280-1{,}036}\approx\mathbf{830{,}5\,\text{m}}$.
- c) $AB=20\cdot1{,}5=30$, $AC=15\cdot1{,}5=22{,}5$. Định lí côsin: $BC^2=30^2+22{,}5^2-2\cdot30\cdot22{,}5\cos60^\circ=731{,}25\Rightarrow BC\approx\mathbf{27{,}04}$ hải lí.
⚠️ Bẫy câu c: hai tàu tạo góc $60^\circ$ không vuông, nên không dùng Pythagore mà phải dùng định lí côsin $BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\cdot AC\cos A$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Nếu không nói gì thêm thì làm tròn đến hàng phần mười hoặc đến phút.
- Phân biệt góc với mặt đất (dùng $\cos$ cho cạnh ngang) và góc với tường/phương thẳng đứng (dùng $\sin$).
- Bài hai vị trí quan sát: chiều cao bằng $PQ$ chia cho hiệu hai côtang của góc.
- Tam giác không vuông: dùng định lí côsin hoặc hạ đường cao tạo tam giác vuông.