Bài 13 — Mở đầu về đường tròn
Vị trí điểm — đường tròn · Tính đối xứng · Đường kính — dây cung
Đường tròn & vị trí điểm — đường tròn
- Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ ($R>0$), kí hiệu $(O;R)$, gồm mọi điểm cách $O$ một khoảng bằng $R$.
- Với điểm $M$: $OM=R \Leftrightarrow M$ nằm trên $(O)$; $OM
trong; $OM>R \Leftrightarrow M$ nằm ngoài.
Tính đối xứng của đường tròn
- Đường tròn nhận tâm $O$ làm tâm đối xứng: nếu $B$ thuộc $(O)$ thì điểm $B'$ đối xứng với $B$ qua $O$ cũng thuộc $(O)$ (vì $OB'=OB=R$).
- Mọi đường thẳng đi qua tâm $O$ đều là trục đối xứng của đường tròn.
Đường kính & dây cung
- Dây đi qua tâm gọi là đường kính; trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây dài nhất.
- Định lí Thalès: nếu $BC$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ thì $\widehat{BAC}=90^\circ$ (và ngược lại).
1 Dạng 1 — Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn
a) Đường tròn $(O)$ bán kính $5\text{ cm}$; $OA=3\text{ cm}$, $OB=4\text{ cm}$, $OC=7\text{ cm}$, $OD=5\text{ cm}$. Xác định vị trí của $A,B,C,D$.
b) Hình chữ nhật $ABCD$ có $AD=18\text{ cm}$, $CD=12\text{ cm}$. Chứng tỏ $A,B,C,D$ cùng thuộc một đường tròn; tính bán kính.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: so sánh khoảng cách đến tâm với bán kính $R=5$.- a) $OA=3<5$: $A$ nằm trong. $OB=4<5$: $B$ nằm trong. $OC=7>5$: $C$ nằm ngoài. $OD=5=5$: $D$ nằm trên đường tròn.
- b) $ABCD$ là hình chữ nhật nên góc $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}=90^\circ$ và hai đường chéo $AC=BD$, cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường. Vì góc tại mỗi đỉnh đều là góc vuông nhìn đường chéo (chẳng hạn $\widehat{DAB}=90^\circ$ nhìn $DB$) nên theo Thalès đảo, cả 4 đỉnh cùng cách đều $I$ một khoảng $=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{BD}{2}$ — tức cùng thuộc đường tròn tâm $I$.
Tính bán kính: $AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{18^2+12^2}=\sqrt{324+144}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}\text{ cm}$.
Bán kính $R=\dfrac{AC}{2}=3\sqrt{13}\approx\mathbf{10{,}82\text{ cm}}$.
2 Dạng 2 — Tính đối xứng của đường tròn
a) $(O;R)$, $A$ trên đường tròn, đường thẳng $AO$ cắt đường tròn tại $A'$. So sánh $OA,OA'$; $O$ là gì của $AA'$?
b) $(O;R)$, $B$ thuộc đường tròn. Tìm $B'$ sao cho $O$ là trung điểm $BB'$. $B'$ có thuộc $(O;R)$ không?
c) Xác định tâm đối xứng, trục đối xứng của bánh xe nan hoa hình tròn tâm $O$.
d) Nêu cách chia một chiếc bánh hình tròn tâm $O$ thành hai phần bằng nhau.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: tâm $O$ là tâm đối xứng; mọi đường kính là trục đối xứng.- a) $A,A'$ đều thuộc $(O;R)$ nên $OA=OA'=R$. Vì $A,O,A'$ thẳng hàng và $OA=OA'$ nên $O$ là trung điểm của $AA'$ (tức $AA'$ là một đường kính).
- b) $B'$ là điểm đối xứng với $B$ qua $O$ (điểm sao cho $O$ là trung điểm $BB'$). Vì phép đối xứng tâm $O$ bảo toàn khoảng cách đến $O$ nên $OB'=OB=R$ ⟹ $B'$ thuộc $(O;R)$.
- c) Tâm đối xứng là tâm $O$ của bánh xe; trục đối xứng là mọi đường thẳng đi qua $O$ và đi qua một cặp nan hoa đối diện (đường kính của bánh xe).
- d) Cắt theo một đường kính bất kì (đường thẳng đi qua tâm $O$): vì đường kính chia hình tròn thành hai nửa đối xứng nhau qua tâm nên diện tích hai phần luôn bằng nhau.
3 Dạng 3 — Đường kính và dây cung
Cho hình sau (đường kính $AB$, dây $MN$ không qua tâm).
a) Kể tên đường kính, dây cung trong hình. So sánh $MN$ và $AB$.
b) Vì sao $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nếu $BC$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp?
c) Bạn Mai căng ba dây $AB=16$, $CD=14$, $EF=20\text{ cm}$ trên khung thêu bán kính $10\text{ cm}$. Dây nào qua tâm?
d) Tam giác $ABC$ đều, $I,K$ là trung điểm $AB,AC$. Chứng minh $B,I,K,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: đường kính luôn là dây dài nhất; Thalès cho góc vuông.- a) Đường kính: $AB$ (dây duy nhất qua $O$). Dây cung: $AB$ và $MN$. Vì $MN$ không qua tâm nên xét $\triangle OMN$: $MN<OM+ON=2R=AB$ ⟹ $MN<AB$.
- b) Nếu $BC$ là đường kính thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm $BC$, bán kính $=\dfrac{BC}{2}$; điểm $A$ trên đường tròn nhìn đường kính $BC$ nên theo Thalès, $\widehat{BAC}=90^\circ$ ⟹ $\triangle ABC$ vuông tại $A$.
- c) Đường kính của khung thêu $=2R=20\text{ cm}$ — đây cũng là dây dài nhất có thể có. Trong ba dây $16,14,20\text{ cm}$, chỉ có $EF=20\text{ cm}=2R$ ⟹ $EF$ là dây đi qua tâm (hai dây kia đều $<20$ nên không thể là đường kính).
- d) Vì $\triangle ABC$ đều nên trung tuyến cũng là đường cao: $CI$ (trung tuyến từ $C$ đến trung điểm $I$ của $AB$) vuông góc $AB$ ⟹ $\widehat{BIC}=90^\circ$. Tương tự $BK\perp AC$ ⟹ $\widehat{BKC}=90^\circ$. Vì $I,K$ đều nhìn đoạn $BC$ dưới góc $90^\circ$, theo Thalès đảo, $I,K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ — mà $B,C$ hiển nhiên cũng thuộc đường tròn đó (hai đầu mút đường kính). Vậy $B,I,K,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Ba vị trí của điểm với đường tròn chỉ phụ thuộc việc so sánh $OM$ với $R$.
- Đối xứng tâm qua $O$ luôn giữ nguyên khoảng cách đến $O$ — đó là lí do mọi đường kính là trục đối xứng và $O$ là tâm đối xứng.
- “Đường kính là dây lớn nhất” và “góc nội tiếp chắn đường kính là góc vuông” (Thalès) là hai công cụ dùng lại xuyên suốt cả chương.