Bài 14 — Cung và dây của một đường tròn

🔑 Lời giải

• a) $OA\perp MA$, $OM$ là phân giác $\widehat{AMB}$ ⟹ $\widehat{AMO}=20^\circ$. Trong $\triangle OAM$ vuông tại $A$: $\widehat{AOM}=90^\circ-20^\circ=\mathbf{70^\circ}$. Từ tứ giác $OAMB$: $\widehat{AOB}=360^\circ-90^\circ-90^\circ-40^\circ=140^\circ$ ⟹ cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}=\mathbf{140^\circ}$, cung lớn $=360^\circ-140^\circ=\mathbf{220^\circ}$.
• b) $\triangle OAM$ vuông tại $A$: $\cos\widehat{AOM}=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac12\Rightarrow\widehat{AOM}=60^\circ$. Do đối xứng, $\widehat{AOB}=2\times60^\circ=\mathbf{120^\circ}$ ⟹ cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}=\mathbf{120^\circ}$.
• c) $OK\perp MN\Rightarrow K$ là trung điểm $MN$: $MK=\dfrac{R\sqrt3}{2}$. Trong $\triangle OKM$ vuông tại $K$: $OK=\sqrt{OM^2-MK^2}=\sqrt{R^2-\dfrac{3R^2}{4}}=\dfrac{R}{2}$. $\cos\widehat{MOK}=\dfrac{OK}{OM}=\dfrac12\Rightarrow\widehat{MOK}=60^\circ\Rightarrow\widehat{MON}=2\times60^\circ=120^\circ$ ⟹ cung nhỏ $\overset{\frown}{MN}=\mathbf{120^\circ}$, cung lớn $=\mathbf{240^\circ}$.
• d) Vì $BC$ là đường kính của $(O)$ nên $\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^\circ$ (Thalès) ⟹ $CM\perp AB$, $BN\perp AC$. Trong tam giác vuông $ACM$ ($\widehat{AMC}=90^\circ$): $AM=AC\cos A$; trong tam giác vuông $ABN$: $AN=AB\cos A$. Vì $AB=AC$ (cân) nên $AM=AN$, suy ra $BM=AB-AM=AC-AN=CN$ ⟹ $BM=CN$ (dây bằng nhau) ⟹ $\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$ (Định lí 1). Với $\widehat{BAC}=40^\circ$: góc đáy $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=70^\circ$; xét $\triangle OBM$ cân ($OB=OM=R$) có $\widehat{OBM}=\widehat{ABC}=70^\circ\Rightarrow\widehat{BOM}=180^\circ-2\times70^\circ=40^\circ$; tương tự $\widehat{CON}=40^\circ$. Vì $B,O,C$ thẳng hàng: $\widehat{MON}=180^\circ-\widehat{BOM}-\widehat{CON}=180^\circ-40^\circ-40^\circ=\mathbf{100^\circ}$.

🔑 Lời giải

• a) Xét hai dây song song $XY,ZT$ của $(O)$. Kẻ đường kính $EF\perp XY$ (và do đó $EF\perp ZT$ vì $ZT\parallel XY$). Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua điểm chính giữa cung căng bởi dây đó, nên $EF$ là trục đối xứng chung, biến $X\leftrightarrow Y$ và $Z\leftrightarrow T$. Phép đối xứng qua $EF$ biến cung $XZ$ thành cung $YT$ ⟹ $\overset{\frown}{XZ}=\overset{\frown}{YT}$ (đpcm).
• b) $CD\perp AB$ tại $H$, $AB$ là đường kính (qua $O$) ⟹ $AB$ là trục đối xứng của dây $CD$ ⟹ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$. Mặt khác $DE\parallel AB$ nên theo câu a), $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$. Suy ra $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$ ⟹ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BE}$.
• c) $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$ (gt) ⟹ cộng thêm cung $CD$ chung: $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{CD}$, tức $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$ ⟹ $AD=CB$ (Định lí 1). Tứ giác $ACDB$ (theo đúng thứ tự các điểm trên cung) nội tiếp $(O)$ có hai đường chéo $AD=CB$ bằng nhau và hai cạnh bên $AC=BD$ bằng nhau (từ giả thiết) ⟹ $ACDB$ là hình thang cân với hai đáy $AB,CD$ ⟹ $AB\parallel CD$.
• d) $\triangle ABC$ cân tại $A$: $AB=AC\Rightarrow\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$ (Định lí 1). Góc nội tiếp $\widehat{BAC}=50^\circ$ chắn cung $\overset{\frown}{BC}$ (không chứa $A$) nên cung này $=2\times50^\circ=100^\circ$. Vì tổng ba cung $=360^\circ$: $2\times\overset{\frown}{AB}+100^\circ=360^\circ\Rightarrow\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\mathbf{130^\circ}$, còn $\overset{\frown}{BC}=\mathbf{100^\circ}$. Vậy $\overset{\frown}{BC}<\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$.