Bài 15 — Độ dài cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
Công thức độ dài cung, quạt tròn, viên phân, vành khuyên · Bài toán thực tế
Các công thức cần nhớ
- Độ dài cung $n^\circ$ của đường tròn bán kính $R$: $l=\dfrac{\pi Rn}{180}$.
- Diện tích hình quạt tròn bán kính $R$ ứng với cung $n^\circ$: $S=\dfrac{\pi R^2 n}{360}$.
- Hình viên phân (giới hạn bởi một cung và dây căng cung đó): $S_{\text{viên phân}}=S_{\text{quạt}}-S_{\text{tam giác}}$.
- Hình vành khuyên (giữa hai đường tròn đồng tâm $R>r$): $S=\pi(R^2-r^2)$.
1 Dạng 1 — Độ dài cung, diện tích hình quạt tròn
a) Độ dài cung $30^\circ$ của đường tròn bán kính $10\text{ cm}$ (làm tròn hàng phần trăm).
b) Diện tích hình quạt tròn $R=10\text{ cm}$, cung $60^\circ$ (làm tròn hàng phần trăm).
c) Diện tích hình viên phân $\overset{\frown}{AmB}$, $\widehat{AOB}=60^\circ$, $R=5{,}1\text{ cm}$.
d) Diện tích miếng bánh pizza hình quạt tròn, $OA=15\text{ cm}$, $\widehat{AOB}=55^\circ$.
🔑 Lời giải
Dùng công thức $l=\dfrac{\pi Rn}{180}$ và $S=\dfrac{\pi R^2 n}{360}$.- a) $l=\dfrac{\pi\cdot10\cdot30}{180}=\dfrac{5\pi}{3}\approx\mathbf{5{,}24\text{ cm}}$.
- b) $S=\dfrac{\pi\cdot10^2\cdot60}{360}=\dfrac{50\pi}{3}\approx\mathbf{52{,}36\text{ cm}^2}$.
- c) Vì $\widehat{AOB}=60^\circ$ và $OA=OB=R$ nên $\triangle OAB$ đều, cạnh $AB=R$. $S_{\text{quạt}}=\dfrac{\pi R^2\cdot60}{360}=\dfrac{\pi R^2}{6}=\dfrac{\pi\cdot5{,}1^2}{6}\approx13{,}62\text{ cm}^2$. $S_{\triangle OAB}=\dfrac{\sqrt3}{4}R^2=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot5{,}1^2\approx11{,}26\text{ cm}^2$. Vậy $S_{\text{viên phân}}=13{,}62-11{,}26\approx\mathbf{2{,}36\text{ cm}^2}$.
- d) $S=\dfrac{\pi\cdot15^2\cdot55}{360}=34{,}375\pi\approx\mathbf{107{,}99\text{ cm}^2}$.
2 Dạng 2 — Diện tích hình vành khuyên
a) Diện tích vành khuyên giới hạn bởi $(O;5\text{ cm})$ và $(O;8\text{ cm})$.
b) Diện tích vành khuyên giới hạn bởi $(O;9\text{ cm})$ và $(O;12\text{ cm})$.
c) Máy kéo có bánh sau đường kính $124\text{ cm}$, bánh trước $80\text{ cm}$. Bánh sau lăn $20$ vòng thì bánh trước lăn bao nhiêu vòng?
d) Đà Lạt ở khoảng $11^\circ58'$ vĩ độ Bắc; một vòng kinh tuyến Trái Đất dài $40000\text{ km}$. Tính độ dài cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo.
🔑 Lời giải
Dùng $S=\pi(R^2-r^2)$; bánh xe lăn một vòng đi được $2\pi R$.- a) $S=\pi(8^2-5^2)=39\pi\approx\mathbf{122{,}52\text{ cm}^2}$.
- b) $S=\pi(12^2-9^2)=63\pi\approx\mathbf{197{,}92\text{ cm}^2}$.
- c) Quãng đường bánh sau đi: $20\times\pi\times124=2480\pi\text{ cm}$. Số vòng bánh trước $=\dfrac{2480\pi}{\pi\times80}=\dfrac{2480}{80}=\mathbf{31\text{ vòng}}$.
- d) $11^\circ58'=11+\dfrac{58}{60}\approx11{,}9667^\circ$. Độ dài cung $=\dfrac{40000\times11{,}9667}{360}\approx\mathbf{1329{,}6\text{ km}}$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Luôn đổi số đo góc/cung về cùng đơn vị độ (phút $\to$ độ: $1^\circ=60'$) trước khi thay vào công thức.
- Diện tích viên phân = diện tích quạt trừ diện tích tam giác — chỉ dùng công thức tam giác đều khi góc ở tâm đúng bằng $60^\circ$.
- Với vành khuyên, luôn lấy bán kính lớn trừ bán kính nhỏ theo bình phương ($R^2-r^2$), không phải $(R-r)^2$.