Bài 16 — Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Vị trí đường thẳng — đường tròn · Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến · Hai tiếp tuyến cắt nhau
Vị trí tương đối đường thẳng — đường tròn
- Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$. Nếu $d>R$: không giao nhau; $d=R$: tiếp xúc; $d<R$: cắt nhau (2 điểm).
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
- Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi nó đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
- Từ một điểm $M$ ngoài đường tròn, hai tiếp tuyến $MA,MB$ ($A,B$ tiếp điểm) luôn cho: $MA=MB$; $OM$ là phân giác $\widehat{AMB}$; $OM$ là phân giác $\widehat{AOB}$; $OM\perp AB$ tại trung điểm $AB$.
1 Dạng 1 — Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
a) $I$ cách $b$ khoảng $d=6\text{ cm}$. Xét $(I;3),(I;6),(I;8)$ (cm).
b) $O$ cách $a$ khoảng $8\text{ cm}$, $(O;10\text{ cm})$. Vì sao $a$ cắt $(O)$? Tính dây $MN$.
c) Diễn viên xiếc, bánh xe đường kính $72\text{ cm}$ lăn trên dây cáp căng. Tính khoảng cách từ trục đến dây cáp.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: so sánh $d$ với $R$.- a) $(I;3)$: $R=3<6=d$ ⟹ không giao nhau. $(I;6)$: $R=6=d$ ⟹ tiếp xúc. $(I;8)$: $R=8>6=d$ ⟹ cắt nhau.
- b) $d=8<10=R$ ⟹ $a$ cắt $(O)$. Nửa dây $=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{100-64}=6\Rightarrow MN=2\times6=\mathbf{12\text{ cm}}$.
- c) Dây cáp là tiếp tuyến của bánh xe (bánh xe lăn, tiếp xúc dây tại 1 điểm) nên khoảng cách từ trục (tâm) đến dây $=$ bán kính $=\dfrac{72}{2}=\mathbf{36\text{ cm}}$.
2 Dạng 2 — Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
Cho $\triangle ABC$ có đường cao $AH$. Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của $(A;AH)$ tại $H$.
a) $(O;6\text{ cm})$, $A$ cách $O$ là $10\text{ cm}$, tiếp tuyến $AB$. Tính $AB$.
b) $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $(B;BA)$. Chứng minh $AC$ là tiếp tuyến của $(B)$.
c) Hình chữ nhật $ABCD$, $(O)$ đường kính $AB$. Chứng minh $DA,BC$ là tiếp tuyến của $(O)$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: qua một điểm của đường tròn, vuông góc bán kính tại đó.Chứng minh: $H$ là chân đường cao nên $AH\perp BC$ tại $H$; mà $AH$ chính là bán kính của $(A;AH)$ và $H\in(A;AH)$ ⟹ theo dấu hiệu nhận biết, $BC$ là tiếp tuyến của $(A;AH)$ tại $H$.
- a) $\triangle OAB$ vuông tại $B$: $AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=\mathbf{8\text{ cm}}$.
- b) $AC\perp AB$ (vuông tại $A$) và $AB$ là bán kính của $(B;BA)$, $A\in(B;BA)$ ⟹ $AC$ vuông góc bán kính $BA$ tại điểm $A$ thuộc đường tròn ⟹ $AC$ là tiếp tuyến của $(B)$ tại $A$.
- c) Vì $AB$ là đường kính nên $A,B\in(O)$, $OA=OB=R$. Góc $\widehat{DAB}=90^\circ$ (hcn) ⟹ $DA\perp OA$ tại $A\in(O)$ ⟹ $DA$ tiếp tuyến tại $A$. Tương tự $\widehat{ABC}=90^\circ\Rightarrow BC\perp OB$ tại $B\in(O)$ ⟹ $BC$ tiếp tuyến tại $B$.
3 Dạng 3 — Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,B$ cắt nhau tại $M$. Chứng minh $MB=MA$ và $OM$ là trung trực của $AB$.
a) Từ $D$ (tâm), hai tiếp tuyến chạm $A,C$ cắt nhau tại $B$: $AB=4x-9$, $CB=15$. Tìm $x$.
b) $(O;5\text{ cm})$, $M$ ngoài sao cho $MA\perp MB$ (hai tiếp tuyến vuông góc). Tính $MA,MB$.
c) $\triangle ABC$ có $(O)$ nội tiếp, tiếp xúc $AB,BC,CA$ tại $M,P,E$; $AM=6,BP=3,CE=8\text{ cm}$. Tính chu vi $\triangle ABC$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: hai tiếp tuyến từ cùng một điểm luôn bằng nhau.Chứng minh: Vì $MA,MB$ tiếp tuyến ⟹ $\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^\circ$; hai tam giác vuông $OAM,OBM$ có cạnh huyền $OM$ chung, $OA=OB=R$ ⟹ $\triangle OAM=\triangle OBM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ⟹ $MA=MB$. Vì $MA=MB$ nên $\triangle MAB$ cân tại $M$; $OM$ vừa là phân giác góc ở đỉnh $M$ (từ hai tam giác bằng nhau) vừa đi qua tâm nên đồng thời là trung trực của $AB$.
- a) Hai tiếp tuyến từ $B$: $AB=CB$ (Lý thuyết 3) $\Rightarrow4x-9=15\Rightarrow4x=24\Rightarrow\mathbf{x=6}$.
- b) Tứ giác $OAMB$ có $\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=\widehat{AMB}=90^\circ\Rightarrow\widehat{AOB}=90^\circ$ (tứ giác có 3 góc vuông thì góc còn lại cũng vuông) — thực chất $OAMB$ là hình vuông cạnh $R$: $\widehat{AOM}=45^\circ$ (đường chéo), $MA=OA\tan45^\circ=OA=\mathbf{5\text{ cm}}$; tương tự $MB=\mathbf{5\text{ cm}}$.
- c) Từ $A$: $AM=AE=6$. Từ $B$: $BM=BP=3$. Từ $C$: $CP=CE=8$. $AB=AM+MB=6+3=9$; $BC=BP+PC=3+8=11$; $CA=CE+EA=8+6=14$. Chu vi $=9+11+14=\mathbf{34\text{ cm}}$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Muốn chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến: hoặc dùng dấu hiệu (qua 1 điểm của đường tròn, vuông góc bán kính), hoặc so sánh khoảng cách từ tâm với bán kính ($d=R$).
- Với bài toán tam giác nội tiếp/ngoại tiếp có tiếp tuyến, luôn tận dụng ngay $MA=MB$ (hai tiếp tuyến cùng một điểm) để lập hệ thức cạnh.
- Tiếp tuyến luôn tạo tam giác vuông với bán kính tại tiếp điểm — đây là "cầu nối" để dùng Pythagore tính độ dài.