Bài 17 — Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cắt nhau · Tiếp xúc trong/ngoài · Ở ngoài nhau · Đựng nhau
Bảng vị trí tương đối của hai đường tròn $(O;R)$, $(O';R')$ với $R\ge R'$
| Vị trí | Số điểm chung | Hệ thức |
|---|---|---|
| Cắt nhau | 2 | $R-R'<OO'<R+R'$ |
| Tiếp xúc ngoài | 1 | $OO'=R+R'$ |
| Tiếp xúc trong | 1 | $OO'=R-R'$ |
| Ở ngoài nhau | 0 | $OO'>R+R'$ |
| $(O)$ đựng $(O')$ | 0 | $OO'<R-R'$ |
1 Dạng 1 — Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Tìm số điểm chung của $(O)$ và $(O')$ trong mỗi hình sau.
🔑 Lời giải
Dùng bảng: so sánh $OO'$ với $R+R'$ và $|R-R'|$.- a) Hai đường tròn tách rời hẳn nhau ⟹ ở ngoài nhau, 0 điểm chung.
- b) Đường tròn $(O')$ nằm hẳn trong $(O)$, không chạm nhau ⟹ $(O)$ đựng $(O')$, 0 điểm chung.
- c),d) Hai đường tròn giao nhau tại hai điểm phân biệt ⟹ cắt nhau, 2 điểm chung (hình c chỉ đánh dấu một điểm $M$ để minh hoạ, hình d đánh dấu đủ cả hai điểm $M,N$).
2 Dạng 1 (tiếp) — Xác định qua hệ thức số
Xác định vị trí tương đối của $(O;R)$ và $(O';R')$:
a) $OO'=12$, $R=5$, $R'=3$ b) $OO'=8$, $R=5$, $R'=3$
c) $OO'=7$, $R=5$, $R'=3$ d) $OO'=0$, $R=5$, $R'=4$
🔑 Lời giải
Dùng bảng: $R+R'=8$, $R-R'=2$ (a,b,c chung); riêng d có $R,R'$ khác.- a) $R+R'=8$; $OO'=12>8$ ⟹ ở ngoài nhau.
- b) $OO'=8=R+R'$ ⟹ tiếp xúc ngoài.
- c) $R-R'=2<OO'=7<8=R+R'$ ⟹ cắt nhau.
- d) $OO'=0$ (đồng tâm), $R-R'=1>0=OO'$ ⟹ $(O)$ đựng $(O')$ (hai đường tròn đồng tâm, bán kính khác nhau nên không giao nhau).
3 Vận dụng
a) Mô tả vị trí tương đối giữa mỗi cặp cồng chiêng Tây Nguyên (coi là hai đường tròn không giao nhau).
b) Tứ giác $ABCD$ có $\widehat B=\widehat D=90^\circ$. Chứng minh $A,B,C,D$ cùng thuộc một đường tròn; so sánh $AC,BD$.
c) $(A;6\text{ cm})$ và $(B;4\text{ cm})$ cắt nhau tại $C,D$, $AB=8\text{ cm}$. Tính $CA,CB,DA,DB$.
d) $\triangle ABC$ có hai đường cao $BB',CC'$, $O$ trung điểm $BC$. Chứng minh đường tròn tâm $O$ bán kính $OB'$ đi qua $B,C,C'$; so sánh $BC,B'C'$.
🔑 Lời giải
Kết hợp Thalès (góc vuông ⟹ thuộc đường tròn đường kính) với định nghĩa bán kính.- a) Mỗi cặp cồng chiêng được coi là hai đường tròn không giao nhau (đề cho) ⟹ vị trí tương đối là ở ngoài nhau (0 điểm chung).
- b) $\widehat B=\widehat D=90^\circ$ ⟹ $B,D$ cùng nhìn đoạn $AC$ dưới góc vuông ⟹ theo Thalès đảo, $B,D$ (và hiển nhiên $A,C$) cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$. Vì $AC$ là đường kính (dây lớn nhất) của đường tròn này còn $BD$ chỉ là một dây bất kì ⟹ $AC\ge BD$.
- c) Vì $C,D\in(A;6)$ nên $CA=DA=\mathbf{6\text{ cm}}$; vì $C,D\in(B;4)$ nên $CB=DB=\mathbf{4\text{ cm}}$.
- d) $BB'\perp AC\Rightarrow\widehat{BB'C}=90^\circ$ ⟹ $B'$ nhìn $BC$ dưới góc vuông ⟹ $B'$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ (tâm $O$, bán kính $OB=OC$). Tương tự $CC'\perp AB\Rightarrow\widehat{CC'B}=90^\circ$ ⟹ $C'$ cũng thuộc đường tròn đó. Vậy đường tròn tâm $O$ bán kính $OB'(=OB=OC)$ đi qua cả $B,C,C'$. Vì $BC$ là đường kính còn $B'C'$ chỉ là một dây ⟹ $BC\ge B'C'$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Luôn so sánh đủ ba đại lượng $OO'$, $R+R'$, $|R-R'|$ trước khi kết luận vị trí — thiếu một so sánh dễ nhầm giữa "cắt nhau" và "tiếp xúc".
- Khi hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm, đường nối tâm luôn là trung trực của dây chung.
- "Cùng nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông" (Thalès đảo) là công cụ chính để ghép nhiều điểm vào một đường tròn đường kính chung, từ đó so sánh dây với đường kính.