Ôn tập chương V — Đường tròn

🔑 Lời giải

• Câu 1. $R+R'=5+4=9=OO'$ ⟹ tiếp xúc ngoài. ⟹ C.
• Câu 2. $d=4<6=R$ ⟹ cắt nhau tại hai điểm. ⟹ A.
• Câu 3. Theo định nghĩa, góc ở tâm là góc có đỉnh trùng tâm đường tròn. ⟹ D.
• Câu 4. $d=5=R$ ⟹ tiếp xúc. ⟹ B.
• Câu 5. Tứ giác $OAMB$ ($O$ tâm, $M$ giao 2 tiếp tuyến): $\widehat{AOB}=360^\circ-90^\circ-90^\circ-50^\circ=130^\circ=$ cung nhỏ $AB$. ⟹ C.
• Câu 6. $AB$ đường kính, $C$ trên đường tròn ⟹ Thalès: $\widehat{ACB}=90^\circ$, góc vuông. ⟹ A.
• Câu 7. $S=\dfrac{\pi R^2\cdot90}{360}=\dfrac{\pi R^2}{4}$. ⟹ C.
• Câu 8. $S=\pi(4^2-2^2)=12\pi\text{ cm}^2$. ⟹ D.

🔑 Lời giải

Đặt $a=\widehat{AOB}$, $b=\widehat{BOC}$, $c=\widehat{COD}$ (ba góc kề liên tiếp theo đúng thứ tự các tia). Vì $\widehat{DOA}=120^\circ$ chính là góc đi từ $OD$ đến $OA$ theo chiều $D\to C\to B\to A$ (đúng thứ tự đề cho) nên $a+b+c=120^\circ$ — đây là ba góc nhỏ hơn góc còn lại (góc "đóng vòng" từ $A$ về $D$ bằng $360^\circ-120^\circ=240^\circ$, lớn hơn nhiều, phù hợp vì $120^\circ$ mới là góc $DOA$ tiêu chuẩn (không vượt $180^\circ$)).

$OA\perp OC\Rightarrow\widehat{AOC}=a+b=90^\circ$. $\quad OB\perp OD\Rightarrow\widehat{BOD}=b+c=90^\circ$.

Từ $a+b=90$, $b+c=90$, $a+b+c=120$: cộng hai đẳng thức đầu rồi trừ đẳng thức sau: $(a+b)+(b+c)-(a+b+c)=b=90+90-120=60$. Suy ra $b=60^\circ$, rồi $a=90-60=\mathbf{30^\circ}$, $c=90-60=\mathbf{30^\circ}$.

• a) Các góc ở tâm: $\widehat{AOB}=30^\circ$, $\widehat{BOC}=60^\circ$, $\widehat{COD}=30^\circ$, $\widehat{DOA}=120^\circ$ (đã cho); ngoài ra $\widehat{AOC}=90^\circ$, $\widehat{BOD}=90^\circ$ (từ giả thiết vuông góc).
• b) Vì $\widehat{AOB}=\widehat{COD}=30^\circ$ nên cung nhỏ $AB=$ cung nhỏ $CD=30^\circ$ — đây là cặp cung bằng nhau. So sánh: cung nhỏ $AB=$ cung nhỏ $CD$ (bằng nhau).

🔑 Lời giải

• a) $l=\dfrac{3{,}14\times20\times160}{180}\approx\mathbf{55{,}8\text{ cm}}$.
• b) $R=\dfrac{l\times180}{\pi n}=\dfrac{16{,}8\times180}{3{,}14\times144}\approx\mathbf{6{,}7\text{ cm}}$.
• c) $n=\dfrac{l\times180}{\pi R}=\dfrac{60\times180}{3{,}14\times12}\approx\mathbf{286{,}7^\circ}$.
• d) $R=\dfrac{l\times180}{\pi n}=\dfrac{96\times180}{3{,}14\times15}\approx\mathbf{366{,}9\text{ cm}}$.

🔑 Lời giải

Đặt $R=\dfrac{AB}{2}$, $R'=\dfrac{BC}{2}$ ($R>R'$ vì $AB>BC$).

• a) $O,B,O'$ thẳng hàng (cùng trên $xy$) với $OB=R$, $BO'=R'$ ⟹ $OO'=OB+BO'=R+R'$ ⟹ theo bảng vị trí tương đối, $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài tại $B$.
• b) $O\in AC$ (vì $O\in AB\subset xy=AC$) và $DE\perp AC$ tại $H$ ⟹ đường thẳng $AC$ (qua tâm $O$) chính là đường vuông góc từ tâm đến dây $DE$ ⟹ $AC$ đi qua trung điểm của $DE$, tức $H$ là trung điểm $DE$. Vậy tứ giác $ADCE$ có hai đường chéo $AC,DE$ cắt nhau tại trung điểm $H$ của mỗi đường và vuông góc nhau ⟹ $ADCE$ là hình thoi.
• c) Vì $D,E\in(O)$ với $AB$ đường kính: $\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^\circ$ (Thalès) ⟹ $BD\perp AD$, $BE\perp AE$. Vì $ADCE$ là hình thoi nên $AD\parallel CE$ và $DC\parallel AE$; từ $BE\perp AE$ và $AE\parallel DC$ suy ra $BE\perp DC$. Mặt khác $F\in(O')$ với $BC$ đường kính nên $\widehat{BFC}=90^\circ$, tức $BF\perp DC$ (vì $F$ nằm trên đường thẳng $DC$). Cả $BE$ và $BF$ đều vuông góc với $DC$ và cùng đi qua $B$ ⟹ $BE,BF$ là cùng một đường thẳng ⟹ $F,B,E$ thẳng hàng. Từ đó (dùng hệ thức lượng với $H$ nằm trên đường thẳng $BC$ và $HD=HE$ vì $H$ là trung điểm $DE$): $HF^2=HB\cdot HC=(R-R')(R+R')=R^2-R'^2$, đúng bằng phương tích của $H$ đối với $(O')$ qua cát tuyến $B,C$ ⟹ theo hệ thức đảo, $HF$ là tiếp tuyến của $(O')$ tại $F$.

🔑 Lời giải

Người quan sát bắt đầu thấy hải đăng khi đường ngắm là tiếp tuyến chung của "đường chân trời" — tổng hai khoảng nhìn xa từ mỗi độ cao: $d\approx\sqrt{2Rh_1}+\sqrt{2Rh_2}$, với $R=6400\text{ km}$, $h_1=0{,}065\text{ km}$ (hải đăng), $h_2=0{,}005\text{ km}$ (mắt người).

$\sqrt{2\times6400\times0{,}065}=\sqrt{832}\approx28{,}84\text{ km}$;   $\sqrt{2\times6400\times0{,}005}=\sqrt{64}=8\text{ km}$.

Vậy $d\approx28{,}84+8\approx\mathbf{36{,}8\text{ km}}$.