Bài 18 — Hàm số $y=ax^2$ $(a\ne 0)$
Nhận dạng — tính giá trị · Vẽ đồ thị parabol · Bài toán thực tế
Hàm số $y=ax^2$ $(a\ne 0)$ và giá trị của hàm số
- Hàm số $y=ax^2$ $(a\ne0)$: với mỗi giá trị của $x$ ta có đúng một giá trị $y=ax^2$. Hệ số $a$ là số nhân với $x^2$ (có thể âm, dương, phân số, căn thức — miễn là $a\ne0$).
- Tính giá trị: thay $x=x_0$ vào công thức, chú ý $(-x_0)^2=x_0^2$, nên hai giá trị đối nhau của $x$ luôn cho cùng một giá trị của $y$.
Đồ thị hàm số $y=ax^2$ — parabol
- Đồ thị là đường cong parabol đi qua gốc toạ độ $O$, nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.
- $a>0$: đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất. $a<0$: đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất.
- Cách vẽ: lập bảng giá trị (thường lấy $5$ giá trị gồm $0$ và hai cặp đối nhau) → đánh dấu các điểm → nối bằng đường cong trơn.
Bài toán thực tế với $y=ax^2$
- Nhiều đại lượng tỉ lệ với bình phương đại lượng khác: diện tích hình vuông $S=x^2$, quãng đường rơi $s=kt^2$, động năng $K=\frac12 mv^2$, lực gió $F=av^2$…
- Tìm hệ số $a$: thay một cặp giá trị đã biết. Tìm biến khi biết $y$: giải $ax^2=y_0$ rồi loại nghiệm âm nếu biến là thời gian, độ dài, tốc độ.
1 Dạng 1 — Nhận dạng và tính giá trị của hàm số $y=ax^2$
a) Trong các hàm số $y=2x$; $y=3x^2$; $y=0x^2$; $y=-\dfrac{x^2}{4}$, hàm số nào có dạng $y=ax^2$ $(a\ne0)$?
b) Xác định hệ số của $x^2$ trong: $y=2x^2$; $y=-0{,}25x^2$; $y=\dfrac12x^2$; $y=\sqrt2\,x^2$.
c) Tính giá trị của $y=0{,}75x^2$ và $y=-\dfrac13x^2$ tại $x=1$, $x=-1$, $x=2$, $x=-2$.
d) Lập bảng giá trị của $y=\dfrac14x^2$ và $y=-\dfrac14x^2$ với $x=-4;-2;0;2;4$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: nhận đúng dạng $ax^2$ với $a\ne0$; thay giá trị của $x$ vào công thức.- a) $y=3x^2$ ($a=3$) và $y=-\dfrac{x^2}{4}$ ($a=-\dfrac14$) đúng dạng. $y=2x$ là hàm bậc nhất; $y=0x^2$ có $a=0$ nên không thoả mãn.
- b) Hệ số lần lượt là $a=2$; $a=-0{,}25$; $a=\dfrac12$; $a=\sqrt2$.
- c) Với $y=0{,}75x^2$: tại $x=\pm1$ thì $y=0{,}75$; tại $x=\pm2$ thì $y=0{,}75\cdot4=3$.
Với $y=-\dfrac13x^2$: tại $x=\pm1$ thì $y=-\dfrac13$; tại $x=\pm2$ thì $y=-\dfrac43$. - d)
$x$ $-4$ $-2$ $0$ $2$ $4$ $y=\dfrac14x^2$ $4$ $1$ $0$ $1$ $4$ $y=-\dfrac14x^2$ $-4$ $-1$ $0$ $-1$ $-4$
2 Dạng 2 — Vẽ đồ thị hàm số $y=ax^2$
a) Cho $y=-x^2$: lập bảng giá trị tại $x=-3;-2;-1;0;1;2;3$ rồi vẽ đồ thị.
b) Vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac12x^2$.
c) Trong các điểm $A(-6;-8)$, $B(6;8)$, $C\left(\dfrac23;\dfrac29\right)$, điểm nào thuộc đồ thị $y=\dfrac12x^2$?
d) Tìm các điểm thuộc đồ thị $y=\dfrac12x^2$ có tung độ $y=9$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: bảng giá trị → parabol; điểm thuộc đồ thị thì thay toạ độ vào công thức.- a) Bảng giá trị:
Đồ thị là parabol đỉnh $O$, nằm phía dưới trục hoành (vì $a=-1<0$).$x$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $y=-x^2$ $-9$ $-4$ $-1$ $0$ $-1$ $-4$ $-9$ - b) Lấy các điểm $(\pm2;2)$, $(\pm4;8)$ và $O(0;0)$, nối bằng đường cong trơn — parabol quay bề lõm lên trên (hình dưới).
- c) Thay toạ độ vào $y=\dfrac12x^2$: với $A(-6;-8)$: $\dfrac12(-6)^2=18\ne-8$ → không thuộc. Với $B(6;8)$: $\dfrac12\cdot36=18\ne8$ → không thuộc. Với $C\left(\dfrac23;\dfrac29\right)$: $\dfrac12\cdot\dfrac49=\dfrac29$ ✓ → $C$ thuộc đồ thị.
- d) $\dfrac12x^2=9\Leftrightarrow x^2=18\Leftrightarrow x=\pm3\sqrt2$. Vậy có hai điểm: $(3\sqrt2;9)$ và $(-3\sqrt2;9)$.
3 Dạng 3 — Toán ứng dụng thực tế
a) Tìm $a$ biết đồ thị $y=ax^2$ đi qua $M(2;6)$; vẽ đồ thị với $a$ vừa tìm.
b) Vật rơi tự do từ độ cao $125$ m, quãng đường rơi $s=5t^2$. Sau $2$ giây, $3$ giây vật cách mặt đất bao nhiêu? Sau bao lâu vật tiếp đất?
c) Lực gió $F=av^2$; biết $v=3$ m/s thì $F=180$ N. Tính $a$; tính $F$ khi $v=15$; $v=26$ m/s. Buồm chịu tối đa $14580$ N, thuyền có đi được trong gió bão $90$ km/h không?
d) Nhảy Bungee từ cầu cao $120$ m, quãng đường rơi $S=4t^2$. Sau $3$ giây du khách cách mặt đất bao nhiêu? Sau bao lâu thì cách mặt đất $56$ m?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: thay cặp giá trị đã biết để tìm hệ số; giải $ax^2=y_0$ và loại nghiệm âm.- a) $M(2;6)$ thuộc đồ thị nên $6=a\cdot2^2=4a\Rightarrow a=\dfrac{6}{4}=\mathbf{\dfrac32}$. Đồ thị $y=\dfrac32x^2$ là parabol đỉnh $O$ quay bề lõm lên trên, đi qua $(\pm1;1{,}5)$, $(\pm2;6)$.
- b) $t=2$: $s=5\cdot4=20$ m → cách mặt đất $125-20=\mathbf{105}$ m. $t=3$: $s=5\cdot9=45$ m → cách mặt đất $125-45=\mathbf{80}$ m. Tiếp đất khi $5t^2=125\Leftrightarrow t^2=25\Leftrightarrow t=5$ (loại $t=-5$): sau $5$ giây.
- c) $180=a\cdot3^2\Rightarrow a=\mathbf{20}$, tức $F=20v^2$. Khi $v=15$: $F=20\cdot225=\mathbf{4500}$ N; khi $v=26$: $F=20\cdot676=\mathbf{13520}$ N. Gió $90$ km/h $=\dfrac{90000}{3600}=25$ m/s → $F=20\cdot625=12500$ N $<14580$ N ⟹ thuyền có thể đi được.
- d) $t=3$: $S=4\cdot9=36$ m → cách mặt đất $120-36=\mathbf{84}$ m. Cách mặt đất $56$ m nghĩa là đã rơi $S=120-56=64$ m: $4t^2=64\Leftrightarrow t^2=16\Leftrightarrow t=4$ (loại $t=-4$): sau $4$ giây.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Parabol $y=ax^2$ luôn đi qua $O$ và đối xứng qua trục $Oy$; dấu của $a$ quyết định đồ thị nằm trên hay dưới trục hoành.
- Kiểm tra điểm thuộc đồ thị bằng cách thay toạ độ, không đoán theo hình vẽ.
- Bài toán thực tế: đặt điều kiện $t>0$, $v>0$…, đổi thống nhất đơn vị, và phân biệt "quãng đường đã đi" với "khoảng cách còn lại".