Bài 19 — Phương trình bậc hai một ẩn

Nhận biết hệ số · Công thức nghiệm $\Delta$, $\Delta'$ · Tham số $m$ · Giao điểm với parabol

✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm

📖 Lý thuyết 1

Phương trình bậc hai một ẩn

Là phương trình dạng $ax^2+bx+c=0$ với $x$ là ẩn; $a,b,c$ là các hệ số và $a\ne0$.
Ẩn có thể mang tên khác ($y,t,v$…); tham số ($m$…) được coi là số đã cho.

📖 Lý thuyết 2

Công thức nghiệm — biệt thức $\Delta$

$\Delta=b^2-4ac$. $\Delta>0$: hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$; $\Delta=0$: nghiệm kép $x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}$; $\Delta<0$: vô nghiệm.
Nếu $ac<0$ thì $\Delta=b^2-4ac>0$: phương trình chắc chắn có hai nghiệm phân biệt.

📖 Lý thuyết 3

Công thức nghiệm thu gọn — biệt thức $\Delta'$

Khi $b=2b'$ (hệ số $b$ chẵn hoặc chứa nhân tử $2$): $\Delta'=b'^2-ac$.
$\Delta'>0$: $x_{1,2}=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}$; $\Delta'=0$: nghiệm kép $x=-\dfrac{b'}{a}$; $\Delta'<0$: vô nghiệm.

🔍 Mẹo: phương trình khuyết $c$ ($ax^2+bx=0$) thì đặt nhân tử chung $x(ax+b)=0$; khuyết $b$ ($ax^2+c=0$) thì chuyển vế $x^2=-\dfrac ca$ — nhanh hơn nhiều so với tính $\Delta$.

📖 Lý thuyết 4

Giao điểm của đường thẳng và parabol

Hoành độ giao điểm của $(P):y=ax^2$ và $d:y=mx+n$ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm $ax^2=mx+n$.
Tìm được $x$ thì thay vào $y=mx+n$ (hoặc $y=ax^2$) để có tung độ.

✍ Bài tập luyện tập

1 Dạng 1 — Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số

Phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Chỉ rõ $a,b,c$.

a) $-7x^2=0$; b) $-12x^2+7x-\sqrt3=0$; c) $x^3+5x-6=0$; d) $x^2-(m+2)x+7=0$ ($m$ là số đã cho).

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 1: đúng dạng $ax^2+bx+c=0$ với $a\ne0$; hệ số khuyết bằng $0$.

a) Là phương trình bậc hai: $a=-7$, $b=0$, $c=0$.
b) Là phương trình bậc hai: $a=-12$, $b=7$, $c=-\sqrt3$.
c) Không phải — có $x^3$ nên là phương trình bậc ba.
d) Là phương trình bậc hai ẩn $x$: $a=1$, $b=-(m+2)$, $c=7$ (coi $m$ là số).

⚠️ Bẫy câu d: hệ số $b$ là cả cụm $-(m+2)$, đừng bỏ quên dấu trừ hoặc chỉ lấy $m+2$.

2 Dạng 2 — Giải phương trình bằng công thức nghiệm

a) $x^2-2x=0$; b) $25-4x^2=0$; c) $x^2-3x+2=0$; d) $4x^2+8x-5=0$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 2 (kèm mẹo ở Lý thuyết 3): phương trình khuyết thì phân tích nhân tử / chuyển vế; đủ ba hệ số thì tính $\Delta$.

a) $x(x-2)=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Vậy $x\in\{0;2\}$.
b) $4x^2=25\Leftrightarrow x^2=\dfrac{25}{4}\Leftrightarrow x=\pm\dfrac52$. Vậy $x=\pm\dfrac52$.
c) $\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=1>0$, $\sqrt\Delta=1$: $x=\dfrac{3\pm1}{2}$ → $x_1=2$, $x_2=1$.
d) $\Delta=8^2-4\cdot4\cdot(-5)=64+80=144$, $\sqrt\Delta=12$: $x=\dfrac{-8\pm12}{8}$ → $x_1=\dfrac12$, $x_2=-\dfrac52$.

⚠️ Bẫy câu a: chia hai vế cho $x$ sẽ mất nghiệm $x=0$ — phải đặt nhân tử chung.

3 Dạng 3 — Công thức nghiệm thu gọn $\Delta'$

a) $3x^2-4x+1=0$; b) $x^2-6x+5=0$; c) $-4x^2+4x+1=0$; d) $x^2-2\sqrt3\,x-4=0$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 3: $b=2b'$, $\Delta'=b'^2-ac$, $x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}$.

a) $b'=-2$, $\Delta'=4-3=1$: $x=\dfrac{2\pm1}{3}$ → $x_1=1$, $x_2=\dfrac13$.
b) $b'=-3$, $\Delta'=9-5=4$: $x=3\pm2$ → $x_1=5$, $x_2=1$.
c) Nhân hai vế với $-1$: $4x^2-4x-1=0$; $b'=-2$, $\Delta'=4+4=8$: $x=\dfrac{2\pm2\sqrt2}{4}$ → $x=\dfrac{1\pm\sqrt2}{2}$.
d) $b'=-\sqrt3$, $\Delta'=3+4=7$: $x=\sqrt3\pm\sqrt7$.

⚠️ Bẫy câu d: $b=-2\sqrt3$ là "chẵn" theo nghĩa có nhân tử $2$: $b'=-\sqrt3$. Nhiều bạn tưởng $\Delta'$ chỉ dùng khi $b$ là số nguyên chẵn.

4 Dạng 4 — Bài toán tham số $m$

a) Tìm $m$ để $x^2-(m+3)x+m^2=0$ có nghiệm $x=1$.

b) Tìm $m$ để $x^2+x+2m=0$ có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm $m$ để $x^2-2(m+1)x+m^2+3=0$ có nghiệm kép.

d) Không tính $\Delta$, giải thích vì sao $3x^2+2x-5=0$ có hai nghiệm phân biệt.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 2: "có nghiệm $x_0$" → thay $x_0$; số nghiệm → xét dấu $\Delta$ ($\Delta'$).

a) Thay $x=1$: $1-(m+3)+m^2=0\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Leftrightarrow(m-2)(m+1)=0$ → $m=2$ hoặc $m=-1$.
b) $\Delta=1-8m>0\Leftrightarrow$ $m<\dfrac18$.
c) $\Delta'=(m+1)^2-(m^2+3)=2m-2$. Nghiệm kép $\Leftrightarrow\Delta'=0\Leftrightarrow$ $m=1$.
d) $a=3>0$ và $c=-5<0$ nên $ac<0$ ⟹ $\Delta=b^2-4ac>0$ ⟹ phương trình có hai nghiệm phân biệt (thực ra $3+2-5=0$ nên còn nhẩm ngay được $x_1=1$, $x_2=-\dfrac53$).

⚠️ Bẫy câu c: khai triển $(m+1)^2-(m^2+3)$ phải đặt ngoặc cho cả $m^2+3$: kết quả là $2m-2$, không phải $2m+... $ do quên đổi dấu số $3$.

5 Dạng 5 — Giao điểm của đường thẳng và parabol

a) Tìm giao điểm của $(P):y=\dfrac14x^2$ và $d:y=x+1$.

b) Tìm giao điểm của $(P):y=2x^2$ và $d:y=3x+1$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 4: giải phương trình hoành độ giao điểm $ax^2=mx+n$.

a) $\dfrac14x^2=x+1\Leftrightarrow x^2-4x-4=0$; $\Delta'=4+4=8$: $x=2\pm2\sqrt2$. Tung độ $y=x+1=3\pm2\sqrt2$. Hai giao điểm: $\left(2+2\sqrt2;\,3+2\sqrt2\right)$ và $\left(2-2\sqrt2;\,3-2\sqrt2\right)$.
b) $2x^2=3x+1\Leftrightarrow 2x^2-3x-1=0$; $\Delta=9+8=17$: $x=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{4}$. Tung độ $y=3x+1=\dfrac{13\pm3\sqrt{17}}{4}$. Hai giao điểm: $\left(\dfrac{3+\sqrt{17}}{4};\dfrac{13+3\sqrt{17}}{4}\right)$ và $\left(\dfrac{3-\sqrt{17}}{4};\dfrac{13-3\sqrt{17}}{4}\right)$.

⚠️ Bẫy: nghiệm "xấu" (chứa căn) là bình thường — đừng vội nghĩ mình sai. Nhớ trả lời đủ toạ độ điểm $(x;y)$, không dừng ở hoành độ.

⚠️ Chú ý ghi nhớ

Đưa phương trình về đúng dạng $ax^2+bx+c=0$ rồi mới đọc hệ số; hệ số khuyết bằng $0$.
Ưu tiên: khuyết $b$/$c$ → biến đổi trực tiếp; $b$ chẵn → $\Delta'$; còn lại → $\Delta$.
$ac<0$ ⟹ hai nghiệm phân biệt — dùng để "nhìn nhanh" số nghiệm không cần tính toán.