Bài 20 — Định lí Viète và ứng dụng
Tổng — tích hai nghiệm · Biểu thức đối xứng · Nhẩm nghiệm · Tìm hai số biết tổng và tích
✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm
📖 Lý thuyết 1
Định lí Viète
- Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $ax^2+bx+c=0$ $(a\ne0)$ thì $S=x_1+x_2=-\dfrac ba$ và $P=x_1x_2=\dfrac ca$.
- Điều kiện áp dụng: phương trình phải có nghiệm ($\Delta\ge0$) — kiểm tra trước khi dùng.
🔍 Các biểu thức đối xứng hay gặp: $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$; $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac SP$; $x_1^3+x_2^3=S^3-3SP$; $(x_1-x_2)^2=S^2-4P$.
📖 Lý thuyết 2
Nhẩm nghiệm
- Nếu $a+b+c=0$ thì $x_1=1$, $x_2=\dfrac ca$.
- Nếu $a-b+c=0$ thì $x_1=-1$, $x_2=-\dfrac ca$.
📖 Lý thuyết 3
Tìm hai số biết tổng và tích
- Hai số có tổng $S$ và tích $P$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$.
- Điều kiện tồn tại hai số: $S^2-4P\ge0$.
✍ Bài tập luyện tập
1 Dạng 1 — Tính tổng và tích hai nghiệm không giải phương trình
a) $x^2+4x-5=0$; b) $4x^2+4x+1=0$; c) $3x^2-x-3=0$; d) $x^2-7x+5=0$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: kiểm tra có nghiệm rồi đọc $S=-\dfrac ba$, $P=\dfrac ca$.- a) $ac=-5<0$ → có hai nghiệm phân biệt. $x_1+x_2=-4$; $x_1x_2=-5$.
- b) $\Delta=16-16=0$ → có nghiệm (kép). $x_1+x_2=-1$; $x_1x_2=\dfrac14$.
- c) $ac=-9<0$ → có hai nghiệm phân biệt. $x_1+x_2=\dfrac13$; $x_1x_2=-1$.
- d) $\Delta=49-20=29>0$ → có hai nghiệm phân biệt. $x_1+x_2=7$; $x_1x_2=5$.
⚠️ Bẫy: ở câu d không được "đọc luôn" $S,P$ mà chưa kiểm tra $\Delta$ — nếu $\Delta<0$ (phương trình vô nghiệm) thì viết $x_1+x_2$ là vô nghĩa.
2 Dạng 2 — Biểu thức đối xứng của hai nghiệm
Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $x^2-2x-1=0$. Không giải phương trình, tính:
a) $A=x_1^2+x_2^2$; b) $B=x_1^2x_2+x_1x_2^2$; c) $C=\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}$; d) $D=\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: quy mọi biểu thức về $S$ và $P$.$ac=-1<0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt; $S=x_1+x_2=2$, $P=x_1x_2=-1$.
- a) $A=S^2-2P=4-2(-1)=\mathbf{6}$.
- b) $B=x_1x_2(x_1+x_2)=P\cdot S=(-1)\cdot2=\mathbf{-2}$.
- c) $C=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac SP=\dfrac{2}{-1}=\mathbf{-2}$.
- d) $D=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac AP=\dfrac{6}{-1}=\mathbf{-6}$.
⚠️ Bẫy câu a: $x_1^2+x_2^2\ne(x_1+x_2)^2$! Phải trừ đi $2P$: ở đây $P=-1$ nên $-2P=+2$ — trừ số âm thành cộng, rất dễ sai dấu.
3 Dạng 3 — Nhẩm nghiệm bằng $a+b+c=0$ hoặc $a-b+c=0$
a) $15x^2+7x-22=0$; b) $18x^2-7x-25=0$; c) $2022x^2+2023x+1=0$; d) $x^2-2\sqrt7\,x+7=0$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: thử tổng $a+b+c$ trước, rồi tổng $a-b+c$.- a) $15+7-22=0$ → $x_1=1$, $x_2=\dfrac ca=-\dfrac{22}{15}$.
- b) $18-(-7)+(-25)=0$ → $x_1=-1$, $x_2=-\dfrac ca=\dfrac{25}{18}$.
- c) $2022-2023+1=0$ → $x_1=-1$, $x_2=-\dfrac{1}{2022}$.
- d) Không rơi vào hai mẫu trên, nhưng $x^2-2\sqrt7\,x+7=(x-\sqrt7)^2=0$ → nghiệm kép $x=\sqrt7$.
⚠️ Bẫy câu b: tính $a-b+c$ phải là $18-(-7)+(-25)$, tức trừ cả dấu của $b=-7$; cộng trừ ẩu thành $18-7-25\ne0$ sẽ bỏ lỡ cách nhẩm.
4 Dạng 4 — Tìm hai số biết tổng và tích; lập phương trình bậc hai
a) Tìm $u,v$ biết $u+v=5$ và $uv=-14$.
b) Có tồn tại hai số có tổng bằng $10$ và tích bằng $30$ không?
c) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $5$ và $-7$.
d) Mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi $116$ m, diện tích $805$ m². Tính chiều dài, chiều rộng.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: hai số cần tìm là nghiệm của $x^2-Sx+P=0$.- a) $u,v$ là nghiệm của $X^2-5X-14=0$; $\Delta=25+56=81$, $\sqrt\Delta=9$: $X=\dfrac{5\pm9}{2}$ → $\{u;v\}=\{7;-2\}$.
- b) $S^2-4P=100-120=-20<0$ → không tồn tại hai số như vậy.
- c) $S=5+(-7)=-2$, $P=5\cdot(-7)=-35$ → phương trình $x^2+2x-35=0$.
- d) Nửa chu vi $=58$ m: dài $+$ rộng $=58$, dài $\times$ rộng $=805$. Hai kích thước là nghiệm của $X^2-58X+805=0$; $\Delta'=29^2-805=841-805=36$: $X=29\pm6$ → chiều dài $35$ m, chiều rộng $23$ m. (Thử lại: $2(35+23)=116$ ✓; $35\cdot23=805$ ✓.)
⚠️ Bẫy câu d: tổng hai kích thước là nửa chu vi ($58$ m), không phải cả chu vi $116$ m.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Luôn kiểm tra $\Delta\ge0$ (hoặc $ac<0$) trước khi áp dụng Viète.
- Thuộc lòng bộ ba: $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$; $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac SP$; $(x_1-x_2)^2=S^2-4P$.
- "Tổng $S$, tích $P$" ⟹ phương trình $x^2-Sx+P=0$ — chú ý dấu trừ trước $Sx$.