Bài 21 — Giải bài toán bằng cách lập phương trình

🔑 Lời giải

• a) Gọi số nhỏ là $n$ ($n\in\mathbb N$), số lớn là $n+1$. Ta có $n(n+1)-(n+n+1)=109\Leftrightarrow n^2+n-2n-1=109\Leftrightarrow n^2-n-110=0$. $\Delta=1+440=441=21^2$: $n=\dfrac{1+21}{2}=11$ (loại $n=-10$). Vậy hai số là $11$ và $12$. (Thử: $11\cdot12-23=132-23=109$ ✓.)
• b) Gọi chữ số hàng chục là $a$ ($1\le a\le9$), chữ số hàng đơn vị là $b=10-a$. Số đã cho là $10a+b$. Theo đề: $ab=(10a+b)-12\Leftrightarrow a(10-a)=10a+(10-a)-12=9a-2$ $\Leftrightarrow 10a-a^2=9a-2\Leftrightarrow a^2-a-2=0\Leftrightarrow(a-2)(a+1)=0$ → $a=2$ (loại $a=-1$), $b=8$. Số cần tìm: $28$. (Thử: $2\cdot8=16=28-12$ ✓.)

🔑 Lời giải

• a) Gọi chiều rộng là $x$ (m, $x>6$), chiều dài là $\dfrac{720}{x}$. Theo đề: $\left(\dfrac{720}{x}+10\right)(x-6)=720\Leftrightarrow 720-\dfrac{4320}{x}+10x-60=720$ $\Leftrightarrow 10x-\dfrac{4320}{x}-60=0\Leftrightarrow x^2-6x-432=0$. $\Delta'=9+432=441=21^2$: $x=3+21=24$ (loại $x=-18$). Vậy rộng $24$ m, dài $30$ m. (Thử: $40\cdot18=720$ ✓.)
• b) Gọi chiều rộng là $x$ (m, $x>0$), chiều dài $x+2$. Pythagore: $x^2+(x+2)^2=10^2\Leftrightarrow 2x^2+4x-96=0\Leftrightarrow x^2+2x-48=0$; $\Delta'=1+48=49$: $x=-1+7=6$ (loại $-8$). Kích thước $6\times8$ m → diện tích $48$ m².
• c) Nửa chu vi $=140$ m. Gọi chiều dài là $x$ (m, $70<x<140$), chiều rộng $140-x$. Bỏ lối đi $2$ m mỗi phía, phần trồng rau có kích thước $(x-4)$ và $(140-x-4)=136-x$: $(x-4)(136-x)=4256\Leftrightarrow -x^2+140x-544=4256\Leftrightarrow x^2-140x+4800=0$. $\Delta'=4900-4800=100$: $x=70\pm10$ → $x=80$ (chiều dài) hoặc $x=60$ (chính là chiều rộng). Vậy dài $80$ m, rộng $60$ m. (Thử: $76\cdot56=4256$ ✓.)

🔑 Lời giải

• a) Gọi năng suất dự kiến là $x$ (sp/giờ, $x>0$): $\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+4}=1\Leftrightarrow 120\cdot4=x(x+4)\Leftrightarrow x^2+4x-480=0$. $\Delta'=4+480=484=22^2$: $x=-2+22=20$. Vậy $20$ sản phẩm/giờ. (Thử: $6-5=1$ ✓.)
• b) Gọi số sản phẩm mỗi ngày theo kế hoạch là $x$ (sp, $x>0$): $\dfrac{1100}{x}-\dfrac{1100}{x+5}=2\Leftrightarrow 1100\cdot5=2x(x+5)\Leftrightarrow x^2+5x-2750=0$. $\Delta=25+11000=11025=105^2$: $x=\dfrac{-5+105}{2}=50$. Vậy $50$ sản phẩm/ngày. (Thử: $22-20=2$ ✓.)
• c) $4$ giờ $48$ phút $=\dfrac{24}{5}$ giờ. Gọi thời gian vòi một chảy riêng đầy bể là $x$ (giờ, $x>0$), vòi hai là $x+4$. Mỗi giờ: $\dfrac1x+\dfrac1{x+4}=\dfrac{5}{24}\Leftrightarrow 24(2x+4)=5x(x+4)\Leftrightarrow 5x^2-28x-96=0$. $\Delta=784+1920=2704=52^2$: $x=\dfrac{28+52}{10}=8$ (loại nghiệm âm). Vậy vòi một $8$ giờ, vòi hai $12$ giờ. (Thử: $\dfrac18+\dfrac1{12}=\dfrac{5}{24}$ ✓.)

🔑 Lời giải

• a) $24$ phút $=\dfrac25$ giờ. Gọi tốc độ xe hai là $x$ (km/h, $x>0$), xe một là $x+10$: $\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+10}=\dfrac25\Leftrightarrow 120\cdot10\cdot5=2x(x+10)\Leftrightarrow x^2+10x-3000=0$. $\Delta'=25+3000=3025=55^2$: $x=-5+55=50$. Vậy xe hai $50$ km/h, xe một $60$ km/h. (Thử: $2{,}4-2=0{,}4$ giờ $=24$ phút ✓.)
• b) Gọi vận tốc lúc đi là $x$ (km/h, $x>0$). Thời gian đi $+$ nghỉ $+$ về $=5$ giờ: $\dfrac{90}{x}+\dfrac12+\dfrac{90}{x+9}=5\Leftrightarrow \dfrac{90}{x}+\dfrac{90}{x+9}=\dfrac92$ $\Leftrightarrow 180(2x+9)=9x(x+9)\Leftrightarrow x^2-31x-180=0$. $\Delta=961+720=1681=41^2$: $x=\dfrac{31+41}{2}=36$ (loại $-5$). Vậy $36$ km/h. (Thử: $2{,}5+0{,}5+2=5$ ✓.)
• c) Gọi vận tốc thực của tàu là $x$ (km/h, $x>2$): ngược dòng $x-2$, xuôi dòng $x+2$: $\dfrac{60}{x-2}-\dfrac{48}{x+2}=1\Leftrightarrow 60(x+2)-48(x-2)=x^2-4\Leftrightarrow 12x+216=x^2-4$ $\Leftrightarrow x^2-12x-220=0$. $\Delta'=36+220=256=16^2$: $x=6+16=22$ (loại $-10$). Vậy $22$ km/h. (Thử: $3-2=1$ ✓.)