Ôn tập chương VI — Hàm số $y=ax^2$ $(a\ne 0)$. Phương trình bậc hai một ẩn
Trắc nghiệm · Tự luận: đồ thị parabol, giải phương trình, Viète, toán thực tế
Hàm số $y=ax^2$ và đồ thị
- Đồ thị là parabol đỉnh $O$, trục đối xứng $Oy$; $a>0$ nằm trên trục hoành ($O$ thấp nhất), $a<0$ nằm dưới ($O$ cao nhất).
- $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị $\Leftrightarrow y_0=ax_0^2$.
Phương trình bậc hai & định lí Viète
- $ax^2+bx+c=0$ $(a\ne0)$: $\Delta=b^2-4ac$; $\Delta>0$ hai nghiệm $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$; $\Delta=0$ nghiệm kép; $\Delta<0$ vô nghiệm. Nhẩm nhanh: $a+b+c=0\Rightarrow x_1=1$, $x_2=\dfrac ca$; $a-b+c=0\Rightarrow x_1=-1$, $x_2=-\dfrac ca$.
- Viète: $S=x_1+x_2=-\dfrac ba$, $P=x_1x_2=\dfrac ca$; hai số tổng $S$ tích $P$ là nghiệm của $x^2-Sx+P=0$; $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$.
I Đáp án & giải thích nhanh
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | D | B | C | D | D | D | C | B |
🔑 Lời giải
Dùng Nhắc lại 1 & 2: thay toạ độ vào công thức; nhẩm nghiệm; Viète.- Câu 1. $a<0$: đồ thị nằm dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất. ⟹ D.
- Câu 2. $\dfrac12(-4)^2=8$ đúng với $(-4;8)$. ⟹ B.
- Câu 3. $2x^2=2\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1$. ⟹ C.
- Câu 4. $-2=a\cdot2^2\Rightarrow a=-\dfrac12$. ⟹ D.
- Câu 5. $1-14+13=0$ ($a+b+c=0$) → $x_1=1$, $x_2=\dfrac{13}{1}=13$. ⟹ D.
- Câu 6. $-7x+25=0$ là phương trình bậc nhất. ⟹ D.
- Câu 7. $ac=-10<0$ → có nghiệm; $S=-\dfrac51=-5$, $P=-10$. ⟹ C.
- Câu 8. Đưa về $x^2+7x-15=0$: $S=-7$, $P=-15$; $x_1^2+x_2^2-x_1x_2=S^2-3P=49+45=94$. ⟹ B.
1 Hàm số $y=ax^2$ và đồ thị
Cho hàm số $y=ax^2$ $(a\ne0)$.
a) Tìm $a$ để đồ thị đi qua $M(2;2)$.
b) Vẽ đồ thị $(P)$ với $a$ vừa tìm được.
c) Tìm các điểm thuộc $(P)$ có tung độ $y=8$.
🔑 Lời giải
Dùng Nhắc lại 1: thay toạ độ điểm vào công thức hàm số.- a) $2=a\cdot2^2\Rightarrow a=\mathbf{\dfrac12}$.
- b) $(P):y=\dfrac12x^2$ — parabol đỉnh $O$, bề lõm quay lên, đi qua $(\pm2;2)$, $(\pm4;8)$; lập bảng $5$ điểm rồi nối đường cong trơn.
- c) $\dfrac12x^2=8\Leftrightarrow x^2=16\Leftrightarrow x=\pm4$ → hai điểm $(4;8)$ và $(-4;8)$.
2 Giải phương trình
a) $x^2-12x=0$; b) $13x^2+25x-38=0$; c) $3x^2-4\sqrt3\,x+4=0$; d) $x(x+3)=27-(11-3x)$.
🔑 Lời giải
Dùng Nhắc lại 2: ưu tiên nhân tử chung / nhẩm nghiệm trước khi tính $\Delta$.- a) $x(x-12)=0$ → $x\in\{0;12\}$.
- b) $13+25-38=0$ ($a+b+c=0$) → $x_1=1$, $x_2=-\dfrac{38}{13}$.
- c) $b'=-2\sqrt3$, $\Delta'=12-12=0$ → nghiệm kép $x=\dfrac{2\sqrt3}{3}$.
- d) $x^2+3x=27-11+3x\Leftrightarrow x^2=16$ → $x=\pm4$.
3 Định lí Viète
a) Tìm $u,v$ biết $u+v=-2$ và $uv=-35$.
b) Tìm $u,v$ biết $u+v=8$ và $uv=-105$.
c) Cho $2x^2-7x+6=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$. Không giải phương trình, tính $A=(x_1+2x_2)(x_2+2x_1)-x_1^2x_2^2$.
🔑 Lời giải
Dùng Nhắc lại 2: hai số tổng $S$ tích $P$ là nghiệm $X^2-SX+P=0$; khai triển biểu thức về $S,P$.- a) $X^2+2X-35=0$; $\Delta'=1+35=36$: $X=-1\pm6$ → $\{u;v\}=\{5;-7\}$.
- b) $X^2-8X-105=0$; $\Delta'=16+105=121$: $X=4\pm11$ → $\{u;v\}=\{15;-7\}$.
- c) $\Delta=49-48=1>0$; $S=\dfrac72$, $P=3$. Khai triển: $(x_1+2x_2)(x_2+2x_1)=x_1x_2+2x_1^2+2x_2^2+4x_1x_2=5P+2(S^2-2P)$. Suy ra $A=5P+2(S^2-2P)-P^2=P+2S^2-P^2=3+2\cdot\dfrac{49}{4}-9=3+\dfrac{49}{2}-9=\mathbf{\dfrac{37}{2}}$. (Kiểm chứng bằng nghiệm thật $x_1=2$, $x_2=\dfrac32$: $(2+3)\left(\dfrac32+4\right)-(2\cdot\tfrac32)^2=5\cdot\dfrac{11}{2}-9=\dfrac{55}{2}-9=\dfrac{37}{2}$ ✓.)
4 Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một người đi xe đạp từ $A$ đến $B$ cách nhau $24$ km. Lúc về nhờ xuôi gió nên tốc độ nhanh hơn lúc đi $4$ km/h, vì thế thời gian về ít hơn thời gian đi $30$ phút. Tính tốc độ của xe đạp khi đi từ $A$ đến $B$.
🔑 Lời giải
Dùng Nhắc lại 2 (kết hợp ba bước lập phương trình): hiệu hai thời gian $=\dfrac12$ giờ.Gọi tốc độ lúc đi là $x$ (km/h, $x>0$); tốc độ lúc về là $x+4$. Vì thời gian về ít hơn thời gian đi $30$ phút $=\dfrac12$ giờ:
$\dfrac{24}{x}-\dfrac{24}{x+4}=\dfrac12\;\Leftrightarrow\;24\cdot4\cdot2=x(x+4)\;\Leftrightarrow\;x^2+4x-192=0.$
$\Delta'=4+192=196=14^2$: $x=-2+14=12$ (loại $x=-16$). Vậy tốc độ lúc đi là $12$ km/h. (Thử lại: đi $2$ giờ, về $24/16=1{,}5$ giờ — ít hơn đúng $30$ phút ✓.)
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Trước mọi phương trình bậc hai: thử nhẩm $a+b+c$, $a-b+c$ rồi hãy tính $\Delta$/$\Delta'$.
- Bài Viète "không giải phương trình": kiểm tra $\Delta\ge0$, quy biểu thức về $S,P$, và nếu nghiệm đẹp thì nên giải ra để kiểm chứng kết quả.
- Bài toán thực tế: đổi đơn vị thời gian, đặt điều kiện cho ẩn, loại nghiệm âm, thử lại vào đề.