Bài 24 — Bảng tần số, tần số tương đối ghép nhóm và biểu đồ
Nhóm $[a;b)$ · Bảng ghép nhóm · Biểu đồ cột kề nhau, đoạn thẳng
Nhóm số liệu và bảng ghép nhóm
- Nhóm $[a;b)$ chứa các giá trị $X$ với $a\le X<b$; độ rộng $b-a$; giá trị đại diện $\dfrac{a+b}2$.
- Tần số của nhóm = số giá trị thuộc nhóm; tần số tương đối của nhóm $f=\dfrac mN\cdot100\%$.
- Biết một cặp (tần số $m$; tần số tương đối $f$) của cùng một nhóm ⟹ cỡ mẫu $N=m:\dfrac f{100\%}$.
Biểu đồ ghép nhóm
- Dạng cột: các cột kề sát nhau, đáy cột trải từ $a$ đến $b$, chiều cao là tần số (hoặc tần số tương đối) của nhóm.
- Dạng đoạn thẳng: nối các điểm có hoành độ là giá trị đại diện của nhóm, tung độ là tần số (tương đối).
1 Dạng 1 — Lập bảng tần số ghép nhóm
Thời gian bác sĩ khám cho $20$ bệnh nhân (phút): 10,0; 7,7; 9,4; 9,1; 6,7; 5,9; 6,7; 11,7; 6,9; 5,4; 6,0; 5,8; 8,7; 6,4; 5,3; 12,3; 7,4; 9,1; 11,8; 6,5. Chia thành $5$ nhóm, nhóm thứ nhất từ $5$ đến dưới $6{,}5$ phút; lập bảng tần số ghép nhóm; tìm nhóm tần số cao nhất, thấp nhất.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: nhóm rộng $1{,}5$: $[5;6{,}5)$, $[6{,}5;8)$, $[8;9{,}5)$, $[9{,}5;11)$, $[11;12{,}5)$.| Thời gian (phút) | [5;6,5) | [6,5;8) | [8;9,5) | [9,5;11) | [11;12,5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 6 | 6 | 4 | 1 | 3 |
(Cụ thể: $[5;6{,}5)$: 5,9; 5,4; 6,0; 5,8; 6,4; 5,3 — $[6{,}5;8)$: 7,7; 6,7; 6,7; 6,9; 7,4; 6,5 — $[8;9{,}5)$: 9,4; 9,1; 8,7; 9,1 — $[9{,}5;11)$: 10,0 — $[11;12{,}5)$: 11,7; 12,3; 11,8. Tổng $=20$ ✓.)
Tần số cao nhất: hai nhóm $[5;6{,}5)$ và $[6{,}5;8)$ cùng bằng $6$; thấp nhất: nhóm $[9{,}5;11)$ với tần số $1$.
2 Dạng 2 — Bảng tần số tương đối ghép nhóm
a) Thời gian truy cập Internet của bác Quảng trong $30$ ngày (giờ), chia nhóm $[0;1)$ … $[4;5)$: lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm.
b) Hoàn thành bảng chiều cao cây bạch đàn: nhóm $[7;8)$, $?$, $[?;10)$ — tần số $?;24;8$ — tần số tương đối $?;30\%;?$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: đếm theo nhóm; dùng cặp $(24;30\%)$ suy ra cỡ mẫu.- a) Đếm từng nhóm ($N=30$):
(Tổng tần số $=30$ ✓; tổng tần số tương đối $=100\%$ ✓.)Thời gian (giờ) [0;1) [1;2) [2;3) [3;4) [4;5) Tần số 3 6 9 8 4 Tần số tương đối 10% 20% 30% ≈26,7% ≈13,3% - b) Nhóm giữa liền kề hai nhóm kia nên là $[8;9)$, nhóm cuối là $[9;10)$. Cặp $(24;30\%)$ cho cỡ mẫu $N=24:0{,}3=\mathbf{80}$. Suy ra: tần số nhóm $[7;8)$ $=80-24-8=\mathbf{48}$, tần số tương đối $=\dfrac{48}{80}=\mathbf{60\%}$; nhóm $[9;10)$: $\dfrac8{80}=\mathbf{10\%}$. (Kiểm tra: $60+30+10=100\%$ ✓.)
3 Dạng 3 — Vẽ và đọc biểu đồ ghép nhóm
a) Quãng đường đi bộ: nhóm $[4;5)\ldots[8;9)$ km — tần số $6;12;8;3;1$. Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột.
b) Biểu đồ chạy $100$ m (cột kề nhau, nhóm $[11;12)\ldots[15;16)$ giây — tần số $3;6;4;2;1$): bao nhiêu học sinh chạy hết ít hơn $12$ giây? Tổng số học sinh?
c) Biểu đồ tuổi thọ $100$ bóng đèn: nhóm $[1;1{,}25)\ldots[1{,}75;2)$ nghìn giờ — tần số tương đối $18\%;21\%;56\%;5\%$. Lập bảng tần số; đếm số bóng loại I (tuổi thọ $\ge1500$ giờ).
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: cột kề nhau phủ đúng nhóm; đổi giữa tần số và tần số tương đối qua cỡ mẫu.- a) $N=6+12+8+3+1=30$ ⟹ tần số tương đối: $20\%;40\%;\approx26{,}7\%;10\%;\approx3{,}3\%$. Biểu đồ cột ghép nhóm: các cột kề nhau phủ $[4;5),[5;6),\ldots$, cao lần lượt theo các tỉ lệ trên.
- b) Ít hơn $12$ giây là nhóm $[11;12)$: $3$ học sinh. Tổng: $3+6+4+2+1=\mathbf{16}$ học sinh.
- c) $N=100$ nên tần số bằng đúng số phần trăm:
Loại I: tuổi thọ $\ge1{,}5$ nghìn giờ, gồm hai nhóm cuối: $56+5=\mathbf{61}$ bóng đèn.Tuổi thọ (nghìn giờ) [1;1,25) [1,25;1,5) [1,5;1,75) [1,75;2) Tần số 18 21 56 5
4 Dạng 4 — Luyện tập tổng hợp
a) Bảng thời gian làm bài kiểm tra: nhóm $[10;12)$, $?$, $[14;16)$ — tần số $25;?;5$ — tần số tương đối $?;?;12{,}5\%$. Tìm số học sinh rồi hoàn thành bảng.
b) Biểu đồ tỉ lệ đại biểu theo tuổi: $[25;35)$: $33{,}75\%$; $[35;45)$: $26{,}25\%$; $[45;55)$: $28{,}75\%$; $[55;65)$: $11{,}25\%$; biết nhóm $[25;35)$ có $54$ đại biểu. Tính tổng đại biểu, lập bảng tần số; nhận định "trên $50\%$ đại biểu dưới $45$ tuổi" đúng hay sai?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: một cặp (tần số; tần số tương đối) cho ngay cỡ mẫu.- a) Nhóm $[14;16)$: $5$ ứng với $12{,}5\%$ ⟹ $N=5:0{,}125=\mathbf{40}$ học sinh. Nhóm giữa là $[12;14)$ với tần số $40-25-5=\mathbf{10}$. Tần số tương đối: $[10;12)$: $\dfrac{25}{40}=62{,}5\%$; $[12;14)$: $25\%$; $[14;16)$: $12{,}5\%$. (Tổng $=100\%$ ✓.)
- b) $N=54:0{,}3375=\mathbf{160}$ đại biểu. Bảng tần số:
(Kiểm tra: $54+42+46+18=160$ ✓.) Dưới $45$ tuổi: $33{,}75\%+26{,}25\%=60\%>50\%$ ⟹ nhận định đúng.Độ tuổi [25;35) [35;45) [45;55) [55;65) Tần số 54 42 46 18
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Nhóm $[a;b)$: lấy $a$, không lấy $b$; các nhóm phải phủ kín dữ liệu và không chồng lên nhau.
- Biểu đồ ghép nhóm dạng cột có các cột kề sát nhau — khác biểu đồ tần số thường.
- Chìa khoá các bài "hoàn thành bảng": tìm cỡ mẫu từ một cặp (tần số; tần số tương đối) đã đủ thông tin.