Bài 26 — Xác suất của biến cố liên quan tới phép thử
Kết quả thuận lợi · Đồng khả năng · $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ · Bài toán ngược
Kết quả thuận lợi cho biến cố
- Mỗi kết quả của phép thử làm cho biến cố xảy ra gọi là một kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
- Muốn liệt kê đủ: viết hết $\Omega$ trước rồi lọc theo điều kiện của biến cố.
Kết quả đồng khả năng
- Hai kết quả là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xảy ra như nhau (đồng xu cân đối, thẻ cùng loại, bi cùng kích thước và khối lượng…).
- Quan sát theo tiêu chí "gộp" (ví dụ chỉ xem màu khi số bi mỗi màu khác nhau) thường cho các kết quả không đồng khả năng.
Công thức xác suất
- Khi các kết quả đồng khả năng: $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$.
- Ba bước: đếm $n(\Omega)$ → đếm $n(A)$ → lập tỉ số. Luôn có $0\le P(A)\le1$.
1 Dạng 1 — Kết quả thuận lợi cho biến cố
a) Hộp $5$ thẻ đánh số $1$–$5$, lấy đồng thời $2$ thẻ. Liệt kê $\Omega$; kết quả thuận lợi cho $A$: "đúng $1$ thẻ lẻ", $B$: "ít nhất $1$ thẻ chẵn".
b) Việt giải lần lượt $3$ bài $1;2;3$ theo thứ tự ngẫu nhiên. Xác định $\Omega$; kết quả thuận lợi cho $A$: "giải bài $2$ đầu tiên", $B$: "giải bài $1$ trước bài $3$".
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: viết đủ $\Omega$ rồi lọc.- a) Lấy đồng thời (không kể thứ tự): $\Omega=\{(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(2;3),(2;4),(2;5),(3;4),(3;5),(4;5)\}$ — $10$ phần tử. Số lẻ: $1;3;5$, số chẵn: $2;4$.
$A$ (đúng $1$ lẻ, tức $1$ lẻ + $1$ chẵn): $(1;2),(1;4),(2;3),(2;5),(3;4),(4;5)$ — $6$ kết quả.
$B$ (ít nhất $1$ chẵn) = tất cả trừ các cặp toàn lẻ $(1;3),(1;5),(3;5)$: $7$ kết quả. - b) $\Omega=\{123;132;213;231;312;321\}$ — $6$ thứ tự. $A=\{213;231\}$; $B=\{123;132;213\}$ ($3$ kết quả — bài $1$ đứng trước bài $3$ trong dãy).
2 Dạng 2 — Kết quả đồng khả năng
a) Rút $1$ thẻ từ $10$ thẻ cùng loại đánh số $1$–$10$. b) Lấy $1$ bi từ hộp có $1$ xanh, $1$ đỏ, $8$ trắng (cùng kích thước, khối lượng) và quan sát màu. c) Gặp ngẫu nhiên $1$ người Đồng Tháp, hỏi nơi sinh (huyện/thành phố). d) Rút $1$ lá bài từ bộ $52$ lá.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: các kết quả có khả năng như nhau không?- a) Có — $10$ thẻ cùng loại, mỗi thẻ có khả năng được rút như nhau.
- b) Không — kết quả quan sát là màu: bi trắng chiếm $8/10$ nên "trắng" dễ xảy ra hơn hẳn "xanh", "đỏ".
- c) Không — dân số các huyện/thành phố khác nhau nên khả năng gặp người sinh ở mỗi nơi không như nhau.
- d) Có — $52$ lá bài cùng loại.
3 Dạng 3 — Tính xác suất của biến cố
a) Tung đồng xu (mặt hình); gieo xúc xắc (mặt $1$ chấm); rút bài ($1$ lá cơ). b) Hộp $5$ thẻ $3;5;6;7;9$, lấy đồng thời $2$ thẻ: $A$ "tích chia hết cho $3$", $B$ "tổng lớn hơn $13$". c) Hộp bi xanh–đỏ–trắng, lấy lần lượt đến hết: $A$ "xanh cuối cùng", $B$ "trắng trước đỏ", $C$ "đầu tiên không trắng". d) Gieo $2$ xúc xắc: so sánh khả năng của $A$ "hai mặt cùng chấm" và $B$ "tổng lớn hơn $8$".
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: $n(\Omega)$ → $n(A)$ → tỉ số.- a) $P=\dfrac12$; $P=\dfrac16$; bộ bài có $13$ lá cơ: $P=\dfrac{13}{52}=\dfrac14$.
- b) $n(\Omega)=10$ cặp. $A$: tích $\vdots3$ ⟺ có ít nhất một số trong $\{3;6;9\}$; phần bù là cặp lấy từ $\{5;7\}$ — chỉ có $1$ cặp $(5;7)$ ⟹ $n(A)=9$, $P(A)=\dfrac9{10}$. $B$: các cặp có tổng $>13$: $(5;9),(6;9),(7;9)$ ⟹ $P(B)=\dfrac3{10}$.
- c) $\Omega$ gồm $3!=6$ thứ tự. $A$ (xanh cuối): $2$ thứ tự ⟹ $P(A)=\dfrac13$. $B$ (trắng trước đỏ): đúng một nửa số hoán vị ⟹ $P(B)=\dfrac12$. $C$ (đầu tiên không trắng): $4$ thứ tự (đầu tiên là xanh hoặc đỏ) ⟹ $P(C)=\dfrac23$.
- d) $n(\Omega)=36$. $A$: $6$ cặp $(i;i)$ ⟹ $P(A)=\dfrac16=\dfrac6{36}$. $B$: tổng $9;10;11;12$ có $4+3+2+1=10$ cặp ⟹ $P(B)=\dfrac{10}{36}=\dfrac5{18}$. Vì $\dfrac{10}{36}>\dfrac6{36}$ nên biến cố $B$ có khả năng xảy ra cao hơn.
4 Dạng 4 — Tìm số phần tử khi biết xác suất
a) Hộp có $5$ bóng đỏ và một số bóng trắng; $P(\text{đỏ})=0{,}25$. Hỏi số bóng trắng? b) $n$ thẻ đánh số $1$–$n$; $P(\text{số có một chữ số})=0{,}18$. Tìm $n$. c) Túi có $3$ bi xanh và một số bi đỏ; $P(\text{xanh})=0{,}6$. Hỏi tổng số bi?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3 (bài toán ngược): lập phương trình $\dfrac mn=P$.- a) Gọi tổng số bóng là $n$: $\dfrac5n=0{,}25\Rightarrow n=20$ ⟹ số bóng trắng $=20-5=\mathbf{15}$.
- b) Các số có một chữ số từ $1$ đến $9$ là $9$ số: $\dfrac9n=0{,}18\Rightarrow n=\mathbf{50}$ tấm thẻ.
- c) $\dfrac3n=0{,}6\Rightarrow n=\mathbf{5}$ viên bi (tức có $2$ bi đỏ).
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Chỉ dùng $P=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ khi các kết quả đồng khả năng — đánh số từng vật để bảo đảm điều đó.
- Đếm "ít nhất" bằng phần bù; đếm cặp bằng bảng $6\times6$ (xúc xắc) hoặc liệt kê có hệ thống.
- Xác suất là số thuộc $[0;1]$ — kết quả ra ngoài khoảng này chắc chắn sai.