Bài 27 — Góc nội tiếp
Chắn nửa đường tròn · Cùng chắn một cung · Hệ thức độ dài — bán kính
Góc nội tiếp và cung bị chắn
- Góc nội tiếp có đỉnh trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây; số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.
- Hệ quả: các góc nội tiếp cùng chắn một cung (hoặc các cung bằng nhau) thì bằng nhau; góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Dùng góc nội tiếp để chứng minh đồng dạng — hệ thức
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung ⟹ cặp góc bằng nhau ⟹ tam giác đồng dạng ($g.g$) ⟹ hệ thức tích: $IA\cdot IB=IC\cdot ID$, $AB^2=AD\cdot AE$,…
- Ghép với đường kính (góc vuông) để tính độ dài, bán kính.
1 Dạng 1 — Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
a) $\triangle ABC$ nhọn, đường cao $AH$, nội tiếp $(O)$ đường kính $AM$. Tính $\widehat{ACM}$; chứng minh $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$; $N=AH\cap(O)$, tứ giác $BCMN$ là hình gì?
b) $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$; các đường kính $AC$, $AD$. Chứng minh $C,B,D$ thẳng hàng.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.- a) $\widehat{ACM}$ chắn nửa đường tròn (đường kính $AM$) ⟹ $\widehat{ACM}=90^\circ$.
Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$: $\widehat{BAH}=90^\circ-\widehat{ABC}$. Trong $\triangle ACM$ vuông tại $C$: $\widehat{OAC}=\widehat{MAC}=90^\circ-\widehat{AMC}$. Mà $\widehat{AMC}=\widehat{ABC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$) ⟹ $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$.
$\widehat{ANM}=90^\circ$ (chắn nửa đường tròn) ⟹ $MN\perp AN$; mà $BC\perp AN$ (vì $AH\perp BC$) ⟹ $MN\parallel BC$ ⟹ $BCMN$ là hình thang nội tiếp đường tròn ⟹ hình thang cân. - b) $\widehat{ABC}=90^\circ$ (chắn nửa $(O)$) và $\widehat{ABD}=90^\circ$ (chắn nửa $(O')$) ⟹ $\widehat{CBD}=\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^\circ$ ⟹ $C,B,D$ thẳng hàng.
2 Dạng 2 — Cùng chắn một cung: góc bằng nhau, đồng dạng
a) Qua điểm $I$ (ngoài $(O)$) kẻ hai cát tuyến $IAB$, $ICD$. So sánh $\widehat{ACI}$ với $\widehat{ABD}$; $\widehat{CAI}$ với $\widehat{CDB}$; chứng minh $\triangle IAC\backsim\triangle IDB$ và $IA\cdot IB=IC\cdot ID$.
b) $AB=AC$ là hai dây của $(O)$; cát tuyến qua $A$ cắt $BC$ ở $D$, cắt $(O)$ ở $E$. Chứng minh $AB^2=AD\cdot AE$.
c) $AB\parallel CD$ là hai dây; $M$ trên cung nhỏ $AB$. Chứng minh $\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: tìm cặp góc nội tiếp cùng chắn một cung.- a) Tứ giác $ABDC$ nội tiếp $(O)$ nên góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối: $\widehat{ACI}$ (góc ngoài tại $C$) $=\widehat{ABD}$; tương tự $\widehat{CAI}=\widehat{CDB}$. Hai tam giác $IAC$ và $IDB$ có $\widehat I$ chung và $\widehat{ICA}=\widehat{IBD}$ ⟹ $\triangle IAC\backsim\triangle IDB$ ($g.g$) ⟹ $\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{IC}{IB}$ ⟹ $IA\cdot IB=IC\cdot ID$.
- b) $AB=AC$ ⟹ cung $AB$ = cung $AC$ ⟹ $\widehat{AEB}=\widehat{ABC}$ (góc nội tiếp chắn cung $AB$ và chắn cung $AC$ bằng nhau; $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}$). Hai tam giác $ABD$ và $AEB$ có $\widehat A$ chung, $\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$ ⟹ đồng dạng ⟹ $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}$ ⟹ $AB^2=AD\cdot AE$.
- c) $AB\parallel CD$ ⟹ cung $AC$ = cung $BD$ (hai dây song song chắn hai cung bằng nhau giữa chúng) ⟹ $\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
3 Dạng 3 — Hệ thức độ dài, tính bán kính
a) $\triangle ABC$ có đường cao $AH$, nội tiếp $(O)$ đường kính $AD$. Chứng minh $AB\cdot AC=AH\cdot AD$.
b) $\triangle ABC$ nội tiếp $(O;R)$, đường cao $AH$; $AB=8$ cm, $AC=15$ cm, $AH=5$ cm. Tính $R$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: ghép tam giác vuông tạo bởi đường cao với tam giác vuông tạo bởi đường kính.- a) $\widehat{ACD}=90^\circ$ (chắn nửa đường tròn). Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ADC$: $\widehat{AHB}=\widehat{ACD}=90^\circ$; $\widehat{ABH}=\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (cùng chắn cung $AC$) ⟹ $\triangle ABH\backsim\triangle ADC$ ⟹ $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AH}{AC}$ ⟹ $AB\cdot AC=AH\cdot AD$.
- b) Áp dụng câu a với $AD=2R$: $8\cdot15=5\cdot2R\Rightarrow R=\dfrac{120}{10}=\mathbf{12}$ cm.
4 Dạng 4 — Bài toán tổng hợp
a) $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$, hai đường cao $BD$, $CE$ cắt nhau tại $H$; đường kính $AF$. $BFCH$ là hình gì? $M$ là trung điểm $BC$: chứng minh $H,M,F$ thẳng hàng và $OM=\dfrac12AH$.
b) $(O)$ đường kính $AB$; $S$ ngoài đường tròn, $SA,SB$ cắt $(O)$ tại $M,N$; $P=BM\cap AN$. Chứng minh $SP\perp AB$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: đường kính sinh góc vuông — tạo các cặp cạnh song song / đường cao.- a) $\widehat{ABF}=90^\circ$ ⟹ $BF\perp AB$; mà $CE\perp AB$ ⟹ $BF\parallel CH$. Tương tự $\widehat{ACF}=90^\circ$ ⟹ $CF\perp AC$; $BD\perp AC$ ⟹ $CF\parallel BH$. Vậy $BFCH$ là hình bình hành. Hai đường chéo $BC$ và $HF$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường; $M$ là trung điểm $BC$ ⟹ $M$ cũng là trung điểm $HF$ ⟹ $H,M,F$ thẳng hàng. Trong $\triangle AHF$: $O$ là trung điểm $AF$, $M$ là trung điểm $HF$ ⟹ $OM$ là đường trung bình ⟹ $OM=\dfrac12AH$.
- b) $\widehat{AMB}=90^\circ$ ⟹ $BM\perp SA$; $\widehat{ANB}=90^\circ$ ⟹ $AN\perp SB$. Trong $\triangle SAB$, hai đường cao $BM$ và $AN$ cắt nhau tại $P$ ⟹ $P$ là trực tâm ⟹ $SP\perp AB$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Thấy đường kính → tìm góc vuông; thấy hai góc cùng chắn một cung → tìm tam giác đồng dạng.
- Bộ công thức đáng nhớ: $IA\cdot IB=IC\cdot ID$ (hai cát tuyến), $AB^2=AD\cdot AE$ (dây bằng nhau), $AB\cdot AC=AH\cdot 2R$.
- Cấu hình trực tâm + đường kính cho hình bình hành $BFCH$ và $OM=\dfrac12AH$ — dùng lại được ở nhiều đề thi vào 10.