Bài 29 — Tứ giác nội tiếp
Tổng hai góc đối $180^\circ$ · Chứng minh nội tiếp · Hình chữ nhật — hình vuông
Tứ giác nội tiếp và tính chất góc
- Tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn; khi đó tổng hai góc đối bằng $180^\circ$.
- Hệ quả hay dùng: góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
- Tổng hai góc đối bằng $180^\circ$; hoặc
- Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới góc vuông (hoặc hai góc bằng nhau) — bốn điểm cùng thuộc đường tròn đường kính là cạnh đó.
Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông
- Hình chữ nhật, hình vuông luôn nội tiếp; tâm là giao hai đường chéo, $R=\dfrac{\text{đường chéo}}2$.
- Hình vuông cạnh $a$: đường chéo $a\sqrt2$; hình vuông nội tiếp $(O;R)$ có cạnh $R\sqrt2$.
1 Dạng 1 — Tính góc của tứ giác nội tiếp
a) Tứ giác $ABCD$ nội tiếp có $\widehat A=104^\circ$, $\widehat B=63^\circ$; tìm $x=\widehat C$, $y=\widehat D$.
b) Hoàn thành bảng $4$ trường hợp (xem phiếu).
c) $ABCD$ nội tiếp $(O)$, $\widehat{ABC}=70^\circ$, $\widehat{ODC}=50^\circ$. Tìm $\widehat{AOD}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: hai góc đối bù nhau; kết hợp góc ở tâm — cung.- a) $x=\widehat C=180^\circ-\widehat A=180^\circ-104^\circ=\mathbf{76^\circ}$; $y=\widehat D=180^\circ-63^\circ=\mathbf{117^\circ}$.
- b)
(Mỗi cột: $\widehat A+\widehat C=\widehat B+\widehat D=180^\circ$.)Trường hợp 1 2 3 4 Góc $A$ $90^\circ$ $100^\circ$ $91^\circ$ $66^\circ$ Góc $B$ $120^\circ$ $110^\circ$ $75^\circ$ $92^\circ$ Góc $C$ $90^\circ$ $80^\circ$ $89^\circ$ $114^\circ$ Góc $D$ $60^\circ$ $70^\circ$ $105^\circ$ $88^\circ$ - c) $\widehat{ABC}=70^\circ$ là góc nội tiếp chắn cung $ADC$ ⟹ sđ cung $ADC=140^\circ$. $\triangle OCD$ cân tại $O$ ($OC=OD=R$) với $\widehat{ODC}=50^\circ$ ⟹ $\widehat{DOC}=180^\circ-2\cdot50^\circ=80^\circ$ ⟹ sđ cung $DC=80^\circ$. Vậy sđ cung $AD=140^\circ-80^\circ=60^\circ$ ⟹ $\widehat{AOD}=60^\circ$.
2 Dạng 2 — Chứng minh tứ giác nội tiếp
a) $\triangle ABC$ nhọn, đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau ở $H$: chứng minh $AEHF$, $BCEF$ nội tiếp.
b) Từ $M$ ngoài $(O)$ vẽ cát tuyến $MBC$ và tiếp tuyến $MA$; $I$ là trung điểm $BC$: chứng minh $AMIO$ nội tiếp.
c) $\widehat{xOy}=90^\circ$, $OA=OB$ ($A\in Ox$, $B\in Oy$), $M$ trên tia $By$, $BH\perp AM$ tại $H$, tia $HB$ cắt tia $AO$ tại $C$: chứng minh $OAHB$, $OCMH$ nội tiếp.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: tìm hai góc vuông cùng nhìn một đoạn thẳng.- a) $AEHF$: $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^\circ$ là hai góc đối có tổng $180^\circ$ ⟹ nội tiếp (đường tròn đường kính $AH$). $BCEF$: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^\circ$ — $E,F$ cùng nhìn $BC$ dưới góc vuông ⟹ $B,C,E,F$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ ⟹ nội tiếp.
- b) $MA$ là tiếp tuyến ⟹ $\widehat{MAO}=90^\circ$. $I$ là trung điểm dây $BC$ ⟹ $OI\perp BC$ ⟹ $\widehat{MIO}=90^\circ$. Hai đỉnh $A,I$ cùng nhìn đoạn $MO$ dưới góc vuông ⟹ $AMIO$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$.
- c) $OAHB$: $\widehat{AOB}=90^\circ$ và $\widehat{AHB}=90^\circ$ — $O,H$ cùng nhìn $AB$ dưới góc vuông ⟹ nội tiếp. $OCMH$: $\widehat{MOC}=90^\circ$ (vì $C$ trên tia $AO$, $M$ trên tia $By$, $Ox\perp Oy$) và $\widehat{MHC}=90^\circ$ (vì $BH\perp AM$, $C$ thuộc đường thẳng $HB$) — $O,H$ cùng nhìn $MC$ dưới góc vuông ⟹ nội tiếp.
3 Dạng 3 — Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông
a) Hình chữ nhật $ABCD$: trường hợp $AB=6$, $BC=8$ cm; trường hợp $AC=9$ cm. b) Hình vuông $MNPQ$ nội tiếp đường tròn bán kính $R$: tính cạnh và đường chéo theo $R$. c) Hình vuông nội tiếp đường tròn $R=3$ cm: tính diện tích.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: $R$ = nửa đường chéo.- a) $AC=\sqrt{6^2+8^2}=10$ ⟹ tâm là giao hai đường chéo, $R=5$ cm. Nếu $AC=9$: $R=4{,}5$ cm.
- b) Đường chéo $=2R$; cạnh $=\dfrac{2R}{\sqrt2}=$ $R\sqrt2$.
- c) Cạnh $=3\sqrt2$ cm ⟹ $S=(3\sqrt2)^2=$ $18$ cm². (Nhanh hơn: diện tích hình vuông bằng nửa bình phương đường chéo: $S=\dfrac{d^2}2=\dfrac{6^2}2=18$ ✓.)
4 Dạng 4 — Bài toán tổng hợp
a) $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, đường cao $BD$, $CE$: chứng minh $BCDE$ nội tiếp và $DE$ song song với tiếp tuyến $xy$ tại $A$.
b) $\triangle ABC$ vuông tại $A$; $M\in AC$; đường tròn đường kính $CM$ cắt $BM$, $BC$ tại $D$, $N$: chứng minh $ABCD$ nội tiếp và $AB, MN, CD$ đồng quy.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2 + góc nội tiếp: quy về góc vuông cùng nhìn một cạnh; đồng quy nhờ ba đường cao.- a) $\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^\circ$ ⟹ $D,E$ cùng nhìn $BC$ dưới góc vuông ⟹ $BCDE$ nội tiếp. Kẻ đường kính $AK$ của $(O)$. Vì $BCDE$ nội tiếp nên $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$ (góc ngoài bằng góc trong đối). $\triangle ACK$ vuông tại $C$ (chắn nửa đường tròn) và $\widehat{AKC}=\widehat{ABC}$ (cùng chắn cung $AC$) ⟹ $\widehat{KAC}=90^\circ-\widehat{ABC}$. Suy ra $\widehat{ADE}+\widehat{DAK}=\widehat{ABC}+90^\circ-\widehat{ABC}=90^\circ$ ⟹ $DE\perp AK$. Mà tiếp tuyến $xy$ tại $A$ cũng vuông góc với bán kính $OA$ (tức với $AK$) ⟹ $DE\parallel xy$.
- b) $\widehat{MDC}=90^\circ$ (chắn nửa đường tròn đường kính $CM$) ⟹ $\widehat{BDC}=90^\circ$; lại có $\widehat{BAC}=90^\circ$ ⟹ $A,D$ cùng nhìn $BC$ dưới góc vuông ⟹ $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$. Xét $\triangle BMC$: $BA\perp MC$ (vì $BA\perp AC$), $CD\perp BM$ (vì $\widehat{MDC}=90^\circ$), $MN\perp BC$ (vì $\widehat{MNC}=90^\circ$ chắn nửa đường tròn) ⟹ $AB$, $CD$, $MN$ là ba đường cao của $\triangle BMC$ ⟹ cùng đi qua trực tâm — đồng quy.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Tính góc: dùng cặp góc đối bù nhau; qua tâm thì đổi giữa góc nội tiếp — góc ở tâm — số đo cung.
- Chứng minh nội tiếp: ưu tiên tìm hai góc vuông (đối nhau, hoặc cùng nhìn một cạnh).
- Hình chữ nhật/hình vuông: $R=\dfrac{\text{đường chéo}}2$; hình vuông nội tiếp $(O;R)$ có cạnh $R\sqrt2$, diện tích $2R^2$.