Bài 30 — Đa giác đều
Góc — đường chéo · Đa giác đều nội tiếp $(O;R)$ · Phép quay giữ nguyên hình
✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm
📖 Lý thuyết 1
Đa giác đều
- Đa giác đều: tất cả cạnh bằng nhau, tất cả góc bằng nhau. Mỗi góc $=\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$; số đường chéo $=\dfrac{n(n-3)}2$.
- Mỗi đa giác đều có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp chung tâm.
📖 Lý thuyết 2
Đa giác đều nội tiếp $(O;R)$
- Mỗi cạnh chắn cung $\dfrac{360^\circ}n$; các trường hợp quen thuộc: tam giác đều $a_3=R\sqrt3$; hình vuông $a_4=R\sqrt2$; lục giác đều $a_6=R$.
📖 Lý thuyết 3
Phép quay giữ nguyên đa giác đều
- Các phép quay tâm $O$ (thuận hoặc ngược chiều) góc $k\cdot\dfrac{360^\circ}n$ ($k=1,\dots,n$) biến đa giác đều $n$ cạnh thành chính nó.
✍ Bài tập luyện tập
1 Dạng 1 — Góc và đường chéo của đa giác đều
a) Tính số đo mỗi góc của đa giác đều $n$ cạnh; áp dụng cho ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều.
b) Tính số đường chéo của đa giác $n$ cạnh. Đa giác nào có số đường chéo bằng số cạnh?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: tổng góc trong $(n-2)\cdot180^\circ$ chia đều cho $n$ đỉnh.- a) Mỗi góc $=\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$. Với $n=5$: $\dfrac{3\cdot180^\circ}5=\mathbf{108^\circ}$; $n=6$: $\mathbf{120^\circ}$; $n=8$: $\dfrac{6\cdot180^\circ}8=\mathbf{135^\circ}$.
- b) Mỗi đỉnh nối được với $n-3$ đỉnh không kề, mỗi đường chéo đếm hai lần ⟹ số đường chéo $=\dfrac{n(n-3)}2$. Cho $\dfrac{n(n-3)}2=n\Leftrightarrow n-3=2\Leftrightarrow n=5$: ngũ giác ($5$ đường chéo).
⚠️ Bẫy câu b: $n-3$ (không phải $n-1$): mỗi đỉnh không nối chéo với chính nó và hai đỉnh kề; và nhớ chia $2$ vì mỗi đường chéo có hai đầu mút.
2 Dạng 2 — Đa giác đều nội tiếp đường tròn
Cho $(O;R)$: a) vẽ tam giác đều, hình vuông, lục giác đều có các đỉnh nằm trên $(O;R)$; b) tính cạnh của các hình đó theo $R$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: chia đường tròn thành các cung bằng nhau.- a) Lục giác đều: mở compa bằng $R$, chia đường tròn thành $6$ cung liên tiếp rồi nối các điểm chia. Tam giác đều: nối cách một điểm chia (các điểm $1,3,5$). Hình vuông: vẽ hai đường kính vuông góc, nối bốn đầu mút.
- b) Lục giác đều: mỗi cạnh chắn cung $60^\circ$, tam giác $OAB$ đều ⟹ $a_6=R$. Hình vuông: cạnh $=$ dây chắn cung $90^\circ$ ⟹ $a_4=\sqrt{R^2+R^2}=$ $R\sqrt2$. Tam giác đều: cạnh $=$ dây chắn cung $120^\circ$ ⟹ $a_3=2R\sin60^\circ=$ $R\sqrt3$.
⚠️ Bẫy: thứ tự dễ nhớ $a_6=R<a_4=R\sqrt2<a_3=R\sqrt3$ — càng ít cạnh thì cạnh càng dài.
3 Dạng 3 — Phép quay giữ nguyên đa giác đều
a) Ngũ giác đều $ABCDE$ nội tiếp $(O)$. Phép quay thuận chiều tâm $O$ biến $A$ thành $C$ thì $B,C,D,E$ biến thành các điểm nào? Chỉ ra các phép quay tâm $O$ giữ nguyên ngũ giác đều.
b) Lục giác đều $ABCDEF$ cạnh $a$, tâm $O$: tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp theo $a$; chỉ ra các phép quay tâm $O$ giữ nguyên lục giác.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: mỗi bước quay $\dfrac{360^\circ}n$ đưa đỉnh này sang đỉnh kế tiếp.- a) $A\to C$ là quay thuận chiều góc $2\cdot72^\circ=144^\circ$ (nhảy $2$ đỉnh) ⟹ mỗi đỉnh đều nhảy $2$: $B\to D$, $C\to E$, $D\to A$, $E\to B$. Các phép quay tâm $O$ giữ nguyên ngũ giác đều: quay thuận (hoặc ngược) chiều các góc $72^\circ,144^\circ,216^\circ,288^\circ,360^\circ$.
- b) Lục giác đều cạnh $a$: các tam giác $OAB,\ldots$ đều ⟹ bán kính ngoại tiếp $R=a$; bán kính nội tiếp là khoảng cách từ $O$ đến cạnh (trung đoạn) $=$ chiều cao tam giác đều cạnh $a$: $r=\dfrac{a\sqrt3}2$. Các phép quay giữ nguyên: góc $60^\circ,120^\circ,180^\circ,240^\circ,300^\circ,360^\circ$ (tâm $O$).
⚠️ Bẫy câu a: "biến $A$ thành $C$" là nhảy hai đỉnh ($144^\circ$), không phải $72^\circ$; mọi đỉnh khác cũng phải nhảy đúng hai đỉnh theo cùng chiều.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Bộ công thức đa giác đều $n$ cạnh: mỗi góc $\dfrac{(n-2)180^\circ}{n}$; số đường chéo $\dfrac{n(n-3)}2$; góc ở tâm $\dfrac{360^\circ}n$.
- Nội tiếp $(O;R)$: $a_3=R\sqrt3$, $a_4=R\sqrt2$, $a_6=R$; lục giác đều cạnh $a$ có $R=a$, $r=\dfrac{a\sqrt3}2$.
- Phép quay giữ nguyên hình: bội của $\dfrac{360^\circ}n$ quanh tâm $O$.