Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số (Nâng cao)
Tìm tham số theo nghiệm cho trước · Nghiệm thỏa hệ thức · GTNN–GTLN · Giải và biện luận · Nghiệm nguyên
Bốn dạng quen thuộc
- Hệ nhận $(x_0;y_0)$ làm nghiệm: thay $x=x_0,\,y=y_0$ vào hệ, được hệ (hoặc phương trình) theo tham số rồi giải.
- Nghiệm thỏa điều kiện cho trước: tìm nghiệm $(x;y)$ theo tham số $\to$ thay vào điều kiện, lập phương trình chỉ chứa tham số $\to$ giải và kết luận.
- Biểu thức của nghiệm đạt GTNN/GTLN: biểu diễn biểu thức đó theo tham số, đưa về dạng $A^2+k$ rồi đánh giá.
- Giải và biện luận: rút một ẩn, đưa hệ về phương trình dạng $a\cdot x = b$ rồi xét các trường hợp $a\ne 0$ (nghiệm duy nhất), $a=0,\,b\ne 0$ (vô nghiệm), $a=0,\,b=0$ (vô số nghiệm).
Thay nghiệm vào hệ
- $(x_0;y_0)$ là nghiệm $\Leftrightarrow$ thay vào hệ thì cả hai phương trình đều đúng. Khi đó ta thu được hệ phương trình mới mà ẩn chính là tham số.
1 Thí dụ 1
Cho hệ $\begin{cases} (m-1)x+ny=3 \\ 2mx+y=2 \end{cases}$ ($m,n$ là tham số). Tìm $m,n$ để hệ có nghiệm $(1;2)$.
🔑 Lời giải
Thay $x=1,\,y=2$ vào hệ.$\begin{cases} (m-1)\cdot 1 + n\cdot 2 = 3 \\ 2m\cdot 1 + 2 = 2 \end{cases} \iff \begin{cases} m+2n=4 \\ 2m=0 \end{cases} \iff \begin{cases} m=0 \\ n=2 \end{cases}$
Vậy $m=0,\ n=2$.
2 Thí dụ 2
Cho hệ $\begin{cases} 2mx-7ny=6 \\ mx+ny=12 \end{cases}$ ($m,n$ là tham số). Tìm $m,n$ để hệ có nghiệm $(1;2)$.
🔑 Lời giải
Thay $x=1,\,y=2$ vào hệ.$\begin{cases} 2m-14n=6 \\ m+2n=12 \end{cases} \iff \begin{cases} m-7n=3 \\ m+2n=12 \end{cases}$
Trừ vế: $9n=9 \Rightarrow n=1 \Rightarrow m=12-2=10$.
Vậy $m=10,\ n=1$.
3 Thí dụ 3
Cho hệ $\begin{cases} 4x+ay=6 \\ bx-2ay=8 \end{cases}$. Tìm các hệ số $a,b$ để hệ có nghiệm là: a) $(1;-1)$; b) $(-2;3)$.
🔑 Lời giải
Thay từng cặp nghiệm vào hệ rồi giải theo $a,b$.a) Thay $x=1,\,y=-1$: $\begin{cases} 4-a=6 \\ b+2a=8 \end{cases} \iff \begin{cases} a=-2 \\ b=8-2a=12 \end{cases}$. Vậy $a=-2,\ b=12$.
b) Thay $x=-2,\,y=3$: $\begin{cases} -8+3a=6 \\ -2b-6a=8 \end{cases} \iff \begin{cases} a=\dfrac{14}{3} \\ b=-3a-4=-18 \end{cases}$. Vậy $a=\dfrac{14}{3},\ b=-18$.
Giải hệ theo tham số rồi thế vào điều kiện
- Vì hai phương trình đều bậc nhất, ta giải hệ bình thường (thế hoặc cộng đại số) để tìm $x,y$ theo tham số.
- Thay $x,y$ vừa tìm vào hệ thức ràng buộc $\to$ được một phương trình chỉ chứa tham số $\to$ giải.
4 Thí dụ 4
Tìm $m$ để hệ $\begin{cases} x+y=3 \\ 2x-y=2m+5 \end{cases}$ có nghiệm $(x;y)$ sao cho $x=2y$.
🔑 Lời giải
Giải hệ theo $m$ rồi áp điều kiện $x=2y$.Cộng hai phương trình: $3x=2m+8 \Rightarrow x=\dfrac{2m+8}{3}$, suy ra $y=3-x=\dfrac{1-2m}{3}$.
$x=2y \iff \dfrac{2m+8}{3}=2\cdot\dfrac{1-2m}{3} \iff 2m+8=2-4m \iff 6m=-6 \iff m=-1$.
Khi đó $(x;y)=(2;1)$. Vậy $m=-1$.
5 Thí dụ 5
Tìm $m$ để hệ $\begin{cases} x-2y=1 \\ 3x-4y=m+3 \end{cases}$ có nghiệm $(x;y)$ sao cho $x-y=2$.
🔑 Lời giải
Rút $x=1+2y$ rồi thế.Thế vào phương trình hai: $3(1+2y)-4y=m+3 \iff 2y=m \iff y=\dfrac{m}{2}$, suy ra $x=1+m$.
$x-y=2 \iff (1+m)-\dfrac{m}{2}=2 \iff 1+\dfrac{m}{2}=2 \iff m=2$.
Khi đó $(x;y)=(3;1)$. Vậy $m=2$.
6 Thí dụ 6
Xác định hệ số $a$ để hệ $\begin{cases} x+2y=7 \\ 3x+2y=2a+1 \end{cases}$ có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $x+2=y$.
🔑 Lời giải
Trừ hai phương trình để tìm $x$ theo $a$.Lấy phương trình hai trừ phương trình một: $2x=2a-6 \Rightarrow x=a-3$, suy ra $y=\dfrac{7-x}{2}=\dfrac{10-a}{2}$.
$x+2=y \iff (a-3)+2=\dfrac{10-a}{2} \iff 2a-2=10-a \iff 3a=12 \iff a=4$.
Khi đó $(x;y)=(1;3)$. Vậy $a=4$.
7 Thí dụ 7
Cho hệ $\begin{cases} 3x-y=2m+3 \\ x+2y=3m+1 \end{cases}$. Tìm $m$ để hệ có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $x+y=5$.
🔑 Lời giải
Rút $y=3x-(2m+3)$ rồi thế.Thế vào phương trình hai: $x+2\big(3x-2m-3\big)=3m+1 \iff 7x=7m+7 \iff x=m+1$, suy ra $y=3(m+1)-(2m+3)=m$.
$x+y=5 \iff (m+1)+m=5 \iff 2m=4 \iff m=2$.
Khi đó $(x;y)=(3;2)$. Vậy $m=2$.
Biểu diễn biểu thức theo tham số rồi đánh giá
- Hệ luôn có nghiệm duy nhất (vì hai phương trình bậc nhất "độc lập"). Tìm nghiệm theo tham số, lập biểu thức cần xét rồi dùng bất đẳng thức $A^2\ge 0$.
- Mẹo: đôi khi biểu thức cần tìm ($x+y$) đã lộ ngay trên một phương trình của hệ — hãy quan sát trước khi giải!
8 Thí dụ 8
Tìm $m$ để hệ $\begin{cases} x+y=m^2+2 \\ 3x+5y=2m^2 \end{cases}$ có nghiệm $(x;y)$ sao cho giá trị $x+y$ nhỏ nhất.
🔑 Lời giải
Quan sát: $x+y$ chính là vế trái của phương trình thứ nhất!Hệ luôn có nghiệm duy nhất (vì $\dfrac{1}{3}\ne\dfrac{1}{5}$). Khi đó ngay từ phương trình đầu: $x+y=m^2+2$.
Vì $m^2\ge 0$ nên $x+y=m^2+2\ge 2$. Dấu "$=$" xảy ra $\iff m=0$.
Khi $m=0$ thì hệ thành $\begin{cases} x+y=2 \\ 3x+5y=0 \end{cases}\Rightarrow (x;y)=(5;-3)$. Vậy $\min(x+y)=2$ tại $m=0$.
9 Thí dụ 9
Tìm $m$ để hệ $\begin{cases} 2x+y=5m^2-1 \\ x-2y=m^2 \end{cases}$ có nghiệm $(x;y)$ sao cho giá trị $x+y$ nhỏ nhất.
🔑 Lời giải
Giải hệ theo $m$ rồi lập $x+y$.Từ phương trình hai: $x=m^2+2y$. Thế vào phương trình một: $2(m^2+2y)+y=5m^2-1 \iff 5y=3m^2-1 \iff y=\dfrac{3m^2-1}{5}$.
Suy ra $x=\dfrac{11m^2-2}{5}$, do đó $x+y=\dfrac{14m^2-3}{5}$.
Vì $m^2\ge 0$ nên $x+y=\dfrac{14m^2-3}{5}\ge -\dfrac{3}{5}$. Dấu "$=$" xảy ra $\iff m=0$.
Vậy $\min(x+y)=-\dfrac{3}{5}$ tại $m=0$.
Quy về phương trình $a\cdot x=b$
- Giải và biện luận: rút một ẩn, đưa về phương trình một ẩn dạng $a(m)\cdot x=b(m)$ rồi xét: $a\ne 0$ (nghiệm duy nhất); $a=0,b\ne 0$ (vô nghiệm); $a=0,b=0$ (vô số nghiệm).
- Nghiệm nguyên: sau khi tìm nghiệm duy nhất, tách $x,y$ thành nguyên cộng phân số dạng $\dfrac{k}{m+c}$, rồi cho $(m+c)$ là ước của $k$.
10 Thí dụ 10
Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases} mx-y=2m \\ 4x-my=m+6 \end{cases}$ b) $\begin{cases} mx+y=3m-1 \\ x+my=m+1 \end{cases}$
🔑 Lời giải
Rút một ẩn rồi đưa về phương trình $a\cdot x=b$.a) Từ phương trình một: $y=mx-2m$. Thế vào phương trình hai:
$4x-m(mx-2m)=m+6 \iff (4-m^2)x=-2m^2+m+6 \iff (2-m)(2+m)\,x=(2m+3)(2-m)$.
- $m\ne 2$ và $m\ne -2$: nghiệm duy nhất $x=\dfrac{2m+3}{m+2},\ y=mx-2m=\dfrac{-m}{m+2}$.
- $m=2$: phương trình thành $0\cdot x=0$ $\Rightarrow$ vô số nghiệm, nghiệm tổng quát $\{(x;\,2x-4)\mid x\in\mathbb{R}\}$.
- $m=-2$: phương trình thành $0\cdot x=-4$ (vô lí) $\Rightarrow$ hệ vô nghiệm.
b) Từ phương trình một: $y=3m-1-mx$. Thế vào phương trình hai:
$x+m(3m-1-mx)=m+1 \iff (1-m^2)x=-3m^2+2m+1 \iff (1-m)(1+m)\,x=(3m+1)(1-m)$.
- $m\ne 1$ và $m\ne -1$: nghiệm duy nhất $x=\dfrac{3m+1}{m+1},\ y=\dfrac{m-1}{m+1}$.
- $m=1$: phương trình thành $0\cdot x=0$ $\Rightarrow$ vô số nghiệm, nghiệm tổng quát $\{(x;\,2-x)\mid x\in\mathbb{R}\}$.
- $m=-1$: phương trình thành $0\cdot x=-4$ (vô lí) $\Rightarrow$ hệ vô nghiệm.
11 Thí dụ 11
Tìm $m$ nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
a) $\begin{cases} mx+2y=m+1 \\ 2x+my=2m-1 \end{cases}$ b) $\begin{cases} (m+1)x-2y=m-1 \\ m^2x-y=m^2+2m \end{cases}$
🔑 Lời giải
Tìm nghiệm duy nhất theo $m$ rồi cho mẫu là ước của tử dư.a) Giải hệ (với $m\ne\pm 2$ để có nghiệm duy nhất): $x=\dfrac{m-1}{m+2}=1-\dfrac{3}{m+2},\quad y=\dfrac{2m+1}{m+2}=2-\dfrac{3}{m+2}$.
$x,y\in\mathbb{Z} \iff \dfrac{3}{m+2}\in\mathbb{Z} \iff (m+2)\mid 3 \iff m+2\in\{\pm 1;\pm 3\}$.
$\Rightarrow m\in\{-1;-3;1;-5\}$ (đều thỏa $m\ne\pm 2$). Vậy $m\in\{-5;-3;-1;1\}$.
b) Giải hệ (với $m\ne 1$ để có nghiệm duy nhất): $x=\dfrac{m+1}{m-1}=1+\dfrac{2}{m-1},\quad y=\dfrac{2m}{m-1}=2+\dfrac{2}{m-1}$.
$x,y\in\mathbb{Z} \iff (m-1)\mid 2 \iff m-1\in\{\pm 1;\pm 2\}$.
$\Rightarrow m\in\{2;0;3;-1\}$. Vậy $m\in\{-1;0;2;3\}$.
12 Thí dụ 12
Cho hệ $\begin{cases} x+my=m+1 \\ mx+y=3m-1 \end{cases}$ ($m$ là tham số). Tìm số nguyên $m$ để hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)$ mà $x,y$ đều nguyên.
🔑 Lời giải
Điều kiện nghiệm duy nhất rồi tách phần nguyên.Hệ có nghiệm duy nhất $\iff 1\cdot 1-m\cdot m\ne 0 \iff m\ne\pm 1$. Khi đó giải hệ:
$x=\dfrac{3m+1}{m+1}=3-\dfrac{2}{m+1},\quad y=\dfrac{m-1}{m+1}=1-\dfrac{2}{m+1}$.
$x,y\in\mathbb{Z} \iff (m+1)\mid 2 \iff m+1\in\{\pm 1;\pm 2\} \iff m\in\{0;-2;1;-3\}$.
Loại $m=1$ (làm hệ không có nghiệm duy nhất). Vậy $m\in\{-3;-2;0\}$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Dạng 1: "có nghiệm $(x_0;y_0)$" nghĩa là thay vào cả hai phương trình — nhớ kiểm tra lại nghiệm sau khi tìm được tham số.
- Dạng 2: phải giải hệ ra $x,y$ theo tham số trước, rồi mới thế vào hệ thức ràng buộc; đừng nhầm hệ thức ràng buộc với phương trình của hệ.
- Dạng 3: luôn quan sát xem biểu thức cần tối ưu có sẵn trên một phương trình không; nếu không, đưa về dạng $\dfrac{A m^2 + B}{C}$ rồi dùng $m^2\ge 0$.
- Dạng 4: khi biện luận, đừng quên hai trường hợp $a=0$ (phân biệt vô nghiệm và vô số nghiệm); khi tìm nghiệm nguyên, nhớ loại các giá trị làm hệ mất tính duy nhất.