Các hệ phương trình cơ bản (Nâng cao)

🔑 Lời giải

Hệ $\iff \begin{cases} S+P=-1 \\ S^2-3P=7 \end{cases} \iff \left[\begin{array}{l} S=1,\ P=-2 \\ S=-4,\ P=3 \end{array}\right.$

• TH1: $\begin{cases} x+y=1 \\ xy=-2 \end{cases} \Rightarrow (x;y)=(-1;2)$ hoặc $(2;-1)$.
• TH2: $\begin{cases} x+y=-4 \\ xy=3 \end{cases} \Rightarrow (x;y)=(-1;-3)$ hoặc $(-3;-1)$.

Vậy tập nghiệm: $(-1;2),\ (2;-1),\ (-1;-3),\ (-3;-1)$.

🔑 Lời giải

Hệ $\iff \begin{cases} a^3+b^3-3ab=17 \\ a+b=5 \end{cases} \iff \begin{cases} a=5-b \\ (b-2)(b-3)=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a=3\\ b=2 \end{cases} \text{ hoặc } \begin{cases} a=2\\ b=3 \end{cases}$

• $\begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases} \Rightarrow (y-1)(y-2)=0 \Rightarrow (x;y)=(2;1)$ hoặc $(1;2)$.
• $\begin{cases} x+y=2 \\ xy=3 \end{cases} \Rightarrow y^2-2y+3=0$ vô nghiệm.

Vậy nghiệm: $(x;y)=(1;2),\ (2;1)$.

🔑 Lời giải

Đưa về $\begin{cases} ab=2 \\ a^3-3ab+b^3+7(a+b+1)=31 \end{cases}$, suy ra $(a+b)^3 - 6(a+b) - 6 + 7(a+b) - 24 = 0$.

$\iff (a+b)^3+(a+b)-30=0 \iff (a+b-3)\big[(a+b)^2+3(a+b)+10\big]=0$.

Vì $(a+b)^2+3(a+b)+10 \gt 0$ nên $a+b=3$. Kết hợp $ab=2$ và $a^2 \ge 4b$ được $\begin{cases} a=2 \\ b=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y=2 \\ xy=1 \end{cases} \Rightarrow x=y=1$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;1)$.

🔑 Lời giải

Điều kiện $x,y \ge 0$. Trừ hai phương trình:

$\big(\sqrt{x}-\sqrt{y}\big)\big[(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x+y)+1+2(\sqrt{x}+\sqrt{y})\big]=0 \iff x=y$ (do ngoặc vuông $\gt 0$).

Khi $x=y$: $x^2+\sqrt{x}=2x \iff \sqrt{x}\,(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}-1)=0 \iff \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=1 \\ x=\dfrac{3-\sqrt5}{2} \end{array}\right.$

Vậy hệ có $3$ cặp nghiệm: $(0;0),\ (1;1),\ \left(\dfrac{3-\sqrt5}{2};\dfrac{3-\sqrt5}{2}\right)$.

🔑 Lời giải

Điều kiện $x,y \ge -\dfrac12$; xét $x+y \ne -1$. Trừ hai phương trình:

$(x-y)\Big[x^2+xy+y^2+4+\dfrac{2}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}}\Big]=0 \iff x=y$.

Khi $x=y$: $x^3+2x-1+\sqrt{2x+1}=0 \iff x\Big[x^2+1+\dfrac{2}{\sqrt{2x+1}+1}\Big]=0 \iff x=0$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=0$.

🔑 Lời giải

Khai triển rồi trừ vế: $(x-y)(x+y-2xy+7)=0 \iff \left[\begin{array}{l} x=y \\ x+y-2xy+7=0 \end{array}\right.$

• Nếu $x=y$: $x^2-5x+6=0 \Rightarrow (x;y)=(2;2)$ hoặc $(3;3)$.
• Nếu $x+y-2xy+7=0$ $\iff (1-2x)(1-2y)=15$. Cộng hai phương trình: $(2x-5)^2+(2y-5)^2=2$. Đặt $a=2x-5,\ b=2y-5$:

  $\begin{cases} a^2+b^2=2 \\ (a+4)(b+4)=15 \end{cases} \iff \left[\begin{array}{l} a+b=0,\ ab=-1 \\ a+b=-8,\ ab=31 \end{array}\right.$

  TH1 $\Rightarrow (x;y)=(3;2),(2;3)$; TH2 vô nghiệm.

Vậy nghiệm: $(2;2),\ (3;3),\ (2;3),\ (3;2)$.

🔑 Lời giải

Nhân $(1)$ với $11$, $(2)$ với $12$ rồi trừ: $10x^2+45xy-25y^2=0 \iff 2x^2+9xy-5y^2=0$.

$y\ne 0$, chia $y^2$ và đặt $t=\dfrac{x}{y}$: $\;2t^2+9t-5=0 \iff (2t-1)(t+5)=0 \iff \left[\begin{array}{l} t=\frac12 \\ t=-5 \end{array}\right.$

• $x=\dfrac{y}{2}$ thay vào (1): $y^2=4 \Rightarrow (x;y)=(1;2),(-1;-2)$.
• $x=-5y$ thay vào (1): $36y^2=12 \Rightarrow (x;y)=\left(-\dfrac{5\sqrt3}{3};\dfrac{\sqrt3}{3}\right),\left(\dfrac{5\sqrt3}{3};-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)$.

Vậy nghiệm: $(1;2),\ (-1;-2),\ \left(-\dfrac{5\sqrt3}{3};\dfrac{\sqrt3}{3}\right),\ \left(\dfrac{5\sqrt3}{3};-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)$.

🔑 Lời giải

$2x^3-y^3=(x^2-2y^2)(x-2y) \iff x^3+2x^2y+2xy^2-5y^3=0 \iff (x-y)(x^2+3xy+5y^2)=0$.

• TH1: $x=y$ thay vào (1) $\Rightarrow x=y=\pm 1$.
• TH2: $x^2+3xy+5y^2=\left(x+\dfrac32 y\right)^2+\dfrac{11}{4}y^2=0 \Rightarrow x=y=0$ (thử lại không thỏa).

Vậy hệ có hai nghiệm: $(1;1),\ (-1;-1)$.

🔑 Lời giải

Hệ $\iff \begin{cases} x^2+y^2=4 \\ 2x^3=(x+y)(4-xy) \end{cases}$. Thế $4=x^2+y^2$:

$2x^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3 \iff x^3=y^3 \iff x=y$.

Thay $x=y$ vào (1): $x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2$. Vậy nghiệm: $\big(\sqrt2;\sqrt2\big),\ \big(-\sqrt2;-\sqrt2\big)$.