Kĩ thuật thế trong giải hệ phương trình (Nâng cao)
Rút một ẩn theo ẩn còn lại · Thế một biểu thức · Thế hằng số
Kĩ thuật thế là gì?
- Từ một phương trình của hệ, rút một ẩn theo ẩn còn lại (hoặc thế một biểu thức, một hằng số) rồi thế vào phương trình kia, đưa về phương trình một ẩn bậc cao có thể giải được.
- Dấu hiệu nhận biết: trong hệ có ít nhất một phương trình bậc nhất của $x,y$; hoặc có thể rút gọn một biến theo biến còn lại từ một phương trình.
Rút $x$ (hoặc $y$) rồi thế vào phương trình kia
- Chọn phương trình bậc nhất để rút một ẩn; nên rút theo ẩn xuất hiện ít hơn ở phương trình còn lại để việc tính toán nhẹ nhàng.
1 Thí dụ 1
Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x+3y=5 & (1) \\ 3x^2-y^2+2y=4 & (2) \end{cases}$
🔑 Lời giải
Rút $x$ từ (1) (vì (2) chứa nhiều ẩn $y$ hơn).Từ (1): $x=\dfrac{5-3y}{2}$. Thế vào (2): $3\left(\dfrac{5-3y}{2}\right)^2-y^2+2y-4=0 \iff 23y^2-82y+59=0 \iff (y-1)(23y-59)=0$.
- $y=1 \Rightarrow x=1$.
- $y=\dfrac{59}{23} \Rightarrow 2x+3\cdot\dfrac{59}{23}=5 \Rightarrow x=-\dfrac{31}{23}$.
Vậy tập nghiệm: $(1;1),\ \left(-\dfrac{31}{23};\dfrac{59}{23}\right)$.
2 Thí dụ 2
Giải hệ phương trình $\begin{cases} xy+2x+y=14 \\ x^3+3x^2+3x-y=1 \end{cases}$
🔑 Lời giải
Rút $x$ theo $y$ từ phương trình đầu (dạng bậc nhất với $x$).Hệ $\iff \begin{cases} x(y+2)=14-y & (1) \\ (x+1)^3-y-2=0 & (2) \end{cases}$
Nếu $y=-2$: (1) thành $0\cdot x=16$ (vô lí). Với $y\ne -2$: $x=\dfrac{14-y}{y+2}$, thế vào (2):
$\left(\dfrac{16}{y+2}\right)^3=y+2 \iff (y+2)^4=16^3=8^4 \iff y+2=\pm 8 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} y=6\Rightarrow x=1 \\ y=-10\Rightarrow x=-3 \end{array}\right.$
Vậy tập nghiệm: $(1;6),\ (-3;-10)$.
Phát hiện nhóm biểu thức chung để thế
- Nhóm một phương trình thành dạng có chứa cùng một biểu thức (ví dụ $x+y$, $x^2+xy$, $y^2$…), biến đổi rồi thế biểu thức đó vào phương trình kia.
3 Thí dụ 3
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2-x-y=-1 \\ x^3+x^2y+x^2+xy=x+y-2 \end{cases}$
🔑 Lời giải
Thế biểu thức $x+y=x^2+1$ vào phương trình thứ hai.Hệ $\iff \begin{cases} x+y=x^2+1 & (1) \\ (x+y)(x^2+x-1)=-2 & (2) \end{cases}$
Thế (1) vào (2): $(x^2+1)(x^2+x-1)=-2 \iff x^4+x^3+x+1=0 \iff (x+1)(x^3+1)=0 \iff (x+1)^2(x^2-x+1)=0 \Rightarrow x=-1$.
Với $x=-1$: (1) cho $-1+y=2 \Rightarrow y=3$. Vậy nghiệm $(x;y)=(-1;3)$.
4 Thí dụ 4
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 \\ x^2+2xy=6x+6 \quad (*) \end{cases}$
🔑 Lời giải
Nhận ra $x^4+2x^3y+x^2y^2=(x^2+xy)^2$ rồi thế $x^2+xy$.Hệ $\iff \begin{cases} (x^2+xy)^2=2x+9 & (1) \\ x^2+xy=\dfrac{x^2+6x+6}{2} & (2) \end{cases}$
Thế (2) vào (1): $\left(\dfrac{x^2+6x+6}{2}\right)^2=2x+9 \iff (x^2+6x+6)^2=4(2x+9) \iff x^4+12x^3+48x^2+64x=0 \iff x(x+4)^3=0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=-4 \end{array}\right.$
- $x=0$ thế vào $(*)$: $0=6$ (vô nghiệm).
- $x=-4$ thế vào $(*)$: $16-8y=-18 \Rightarrow y=\dfrac{17}{4}$.
Vậy nghiệm: $\left(-4;\dfrac{17}{4}\right)$.
5 Thí dụ 5
Giải hệ phương trình $\begin{cases} y^2-xy+1=0 & (1) \\ x^2+y^2+2x+2y+1=0 & (2) \end{cases}$
🔑 Lời giải
Rút $y^2=xy-1$ rồi thế vào (2) để đưa về phương trình tích.Thế $y^2=xy-1$ vào (2): $x^2+xy+2x+2y=0 \iff x(x+y)+2(x+y)=0 \iff (x+y)(x+2)=0$.
- $x+y=0 \Rightarrow x=-y$, thay vào $y^2=xy-1$ được $2y^2=-1$ (vô nghiệm).
- $x+2=0 \Rightarrow x=-2$, thay vào $y^2=xy-1$ được $(y+1)^2=0 \Rightarrow y=-1$.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(-2;-1)$.
Thế hằng số để tạo phương trình đẳng cấp
- Dùng hằng số ở một phương trình (ví dụ $10=x^2+6y^2$, $6=x^2-3y^2$) thế vào phương trình kia để tạo ra phương trình đẳng cấp, rồi phân tích thành nhân tử hoặc đặt $t=\dfrac{x}{y}$.
6 Thí dụ 6
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3+xy^2-10y=0 & (1) \\ x^2+6y^2=10 & (2) \end{cases}$
(Trích đề chuyên Hùng Vương – Phú Thọ 2015–2016)
🔑 Lời giải
Thế $10=x^2+6y^2$ vào (1) để được phương trình đẳng cấp bậc 3.$x^3+xy^2-(x^2+6y^2)y=0 \iff x^3-x^2y+xy^2-6y^3=0 \iff (x-2y)(x^2+xy+3y^2)=0$.
- $x^2+xy+3y^2=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{11y^2}{4}=0 \Rightarrow x=y=0$ (không thỏa (2) — loại).
- $x=2y$ thế vào (2): $10y^2=10 \Rightarrow y=\pm 1 \Rightarrow (x;y)=(2;1),(-2;-1)$.
Vậy hệ có 2 nghiệm: $(2;1),\ (-2;-1)$.
7 Thí dụ 7
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3-8x=y^3+2y \\ x^2-3=3(y^2+1) \end{cases}$
🔑 Lời giải
Thế hằng số $6=x^2-3y^2$ để tạo phương trình đẳng cấp, rồi đặt $t=\dfrac{y}{x}$.Hệ $\iff \begin{cases} x^3-y^3=2(4x+y) \\ x^2-3y^2=6 \end{cases}$. Nhân phương trình đầu với $3$ rồi thế $6=x^2-3y^2$:
$3x^3-3y^3=(x^2-3y^2)(4x+y) \iff x^3+x^2y-12xy^2=0$.
Xét $x\ne 0$, đặt $t=\dfrac{y}{x}$: $1+t-12t^2=0 \iff (1-3t)(4t+1)=0 \Rightarrow t=\dfrac13\ (x=3y)$ hoặc $t=-\dfrac14\ (x=-4y)$.
- $x=3y$ thế vào $x^2-3y^2=6$: $6y^2=6 \Rightarrow (x;y)=(3;1),(-3;-1)$.
- $x=-4y$ thế vào $x^2-3y^2=6$: $13y^2=6 \Rightarrow y=\pm\sqrt{\dfrac{6}{13}} \Rightarrow (x;y)=\left(-\sqrt{\dfrac{96}{13}};\sqrt{\dfrac{6}{13}}\right),\left(\sqrt{\dfrac{96}{13}};-\sqrt{\dfrac{6}{13}}\right)$.
Vậy tập nghiệm: $(3;1),\ (-3;-1),\ \left(-\sqrt{\dfrac{96}{13}};\sqrt{\dfrac{6}{13}}\right),\ \left(\sqrt{\dfrac{96}{13}};-\sqrt{\dfrac{6}{13}}\right)$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Dạng 1: ưu tiên rút ẩn từ phương trình bậc nhất, rút theo ẩn xuất hiện ít hơn ở phương trình còn lại; đừng quên xét riêng trường hợp mẫu bằng $0$ (như $y=-2$ ở Thí dụ 2).
- Dạng 2: tinh ý nhận ra hằng đẳng thức / nhóm biểu thức chung ($x+y$, $(x^2+xy)^2$…) trước khi thế giúp lời giải gọn và đẹp hơn.
- Dạng 3: thế hằng số để biến một phương trình thành đẳng cấp; sau đó phân tích thành nhân tử hoặc đặt $t=\dfrac{x}{y}$ (nhớ xét $x=0$ hoặc $y=0$).