Phương trình bậc 2 – Viet

Bài 1.

Cho phương trình \(x^2 - 4\sqrt{3}x + 8 = 0\) có 2 nghiệm \(x_1;\, x_2,\) không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức: \(Q = x_1^3 + x_2^3\)

Bài 2.

Cho phương trình: \(4x^2 - 5x - 3 = 0\) có hai nghiệm là \(x_1\,,\,\,x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(S = x_1 + x_2;\) \(P = x_1x_2;\) \(F = (x_1 + 1)(x_2 + 1) - (x_1 - x_2)^2.\)

Bài 3.

Cho phương trình \(3x^2 + 5x - 6 = 0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, tính: \(P = \frac{2x_2^2}{x_1 + x_2} + 2x_1\)

Bài 4.

1. Hãy tìm một phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với các hệ số \(a,b,c\) là số nguyên nhận \(x = \frac{\sqrt{5} - 2}{3}\) làm nghiệm.

2. Tính tổng lập phương hai nghiệm của phương trình vừa tìm được ở câu a)

Bài 5.

Cho phương trình \(x^2 - 5x + a = 0\). Biết phương trình có một nghiệm là $x = $. Tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^3 - x_1 + x_2^3 - x_2 - 285\)

Bài 6.

Biết phương trình x2 + ax + 5 = 0 có một nghiệm là x = $4 - $. Tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Bài 7.

Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \(3x^2 + 5x - 6 = 0\). Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức \(D = \frac{x_1}{x_2 + 2} + \frac{x_2}{x_1 + 2}\).

Bài 8.

Cho phương trình: \(x^2 + 5x + m = 0\) (*) có một nghiệm là \(\frac{-\sqrt{13} - 5}{2}\) Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Bài 9.

Cho phương trình bậc hai \(x^2 - 6x + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1 = 2x_2\). Tính giá trị biểu thức \(S = x_1^3 + x_2^3 + 3x_1x_2(x_1 + x_2)\).

Bài 10.

Chứng minh rằng phương trình bậc hai: \(x^2 - mx - 8 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) và biểu thức \(M = \frac{2x_1^2 + 5x_1 - 16}{3x_1} - \frac{2x_2^2 + 5x_2 - 16}{3x_2}\) có giá trị không phụ thuộc vào tham số \(m\).

Bài 11.

Cho phương trình \(x^2 + 5x - 7 = 0\) có hai nghiệm là \(x_1;\,x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2\).

Bài 12.

Cho phương trình \(mx^2 + 2(m-2)x + m-3 = 0\) (m là tham số). Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào \(m\).

Bài 13.

Biết phương trình \(2x^2 + 4x + m = 0\) ( \(m\)là tham số) có \(1\) nghiệm bằng \(1\).Tính tổng bình phương hai nghiệm của phương trình.

Bài 14.

Cho phương trình \(x^2 - (m + 1)x - 1 = 0\) có nghiệm $x = 1 - $. Tính bình phương của hiệu hai nghiệm trong phương trình trên.

Bài 15.

Biết rằng phương trình \(x^2 - 5x + a = 0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\), biết \(x_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2\).

Bài 16.

Cho phương trình \(3x^2 - 12x - 5 = 0\) có hai nghiệm là \(x_1,x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: \(T = \frac{x_1^2 + 4x_2 - x_1x_2}{4x_1 + x_2^2 + x_1x_2}\)

Bài 17.

Cho phương trình \(x^2 - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \(x_1,x_2.\) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{x_1^2 + x_2^2}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}\).

Bài 18.

Cho phương trình \(x^2 - 6x - 2m + 3 = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 20.\)

Bài 19.

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(x^2 - 2mx + 4m - 4 = 0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 - 8 = 0\).

Bài 20.

Cho phương trình \(x^2 - x - 3 = 0\)có hai nghiệm \(x_1,x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức A = \(3x_1x_2^2 + x_1 + x_2(3x_1^2 + 1)\)

Bài 21.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), biết rằng parabol \(y = x^2\) và đường thẳng \((d):\) \(y = x - m\) có một hoành độ giao điểm là \(x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\). Giả sử \(x_1;x_2\) là các hoành độ giao điểm của hai hàm số trên. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} - \frac{2025}{x_1 + x_2 - 2}\).

Bài 22.

Biết rằng phương trình bậc hai \(x^2 - 2x + m = 0\) có một nghiệm là \(x = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}\). Tính tổng nghịch đảo bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Bài 23.

Cho phương trình $ -x^2 + 2x + 3 = 0$ có \(2\) nghiệm phân biệt là \(x_1,x_2\) . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x_2 + 1}{1 - x_1} + \frac{x_1 + 1}{1 - x_2}\)

Bài 24.

Cho phương trình \(x^2 - 4x + 3 = 0\) có \(2\) nghiệm là \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{5x_1 - x_2}{x_1} - \frac{x_1 - 5x_2}{x_2}\).

Bài 25.

Biết rằng phương trình bậc hai \(x^2 + 6x + a = 0\)có một nghiệm là $x = - 3 + $. Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Bài 26.

Cho phương trình $ -x^2 + mx + m + 1 = 0$. Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào \(m\). Tìm nghiệm còn lại.

Bài 27.

Biết rằng phương trình bậc hai \(x^2 - 5x + m = 0\) (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho tổng các bình phương của hai nghiệm bằng \(13\).

Bài 28.

Cho phương trình \(x^2 - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\). Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{|x_1| + |x_2|}{2x_1^2 + 24x_2 - 4}\)

Bài 29.

Tìm hai số \(x\) và \(y\) biết \(x + y = 13\) và \(xy = 42\).

Bài 30.

Phương trình \(x^2 - 2x - m + 1 = 0\) ( \(m\)là tham số) có một nghiệm là $x = 1 + $. Tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2x_2 + x_2^2x_1\).

Bài 31.

Phương trình \(x^2 + mx + 2m - 4 = 0\) có \(x_1, x_2\) hai nghiệm và \(x_1 = -1\), tính giá trị của biểu thức \(N = \frac{1}{x_1 + 3} + \frac{1}{x_2 + 3}\)

Bài 32.

Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \(x^2 - 4x - 7 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_2} - 2\).

Bài 33.

Cho phương trình \(2x^2 - 3x - 1 = 0\) có hai nghiệm là \(x_1x_2\), không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x_1 - 1}{x_2 + 1} + \frac{x_2 - 1}{x_1 + 1}\)

Bài 34.

Cho phương trình: \(x^2 - 5x - 6 = 0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\). Hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = \(\frac{x_1}{x_2 - 1} + \frac{x_2}{x_1 - 1}\)

Bài 35.

Cho phương trình: \(x^2 + 3x - 10 = 0\) có \(2\)nghiệm \(x_1, x_2\). Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{x_1 + 2}{x_2} + \frac{x_2 + 2}{x_1}\)

Bài 36.

Biết rằng phương trình bậc hai \(x^2 + 4x + m = 0\) có một nghiệm là $x = - $. Tìm tổng các nghịch đảo hai nghiệm của phương trình trên.

Bài 37.

Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \(x^2 - x - 1 = 0.\) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{x_2 + 1}{x_1};\frac{x_1 + 1}{x_2}\)

Bài 38.

Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \(x^2 - x - 1 = 0.\) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{x_2 + 1}{x_1};\frac{x_1 + 1}{x_2}\)

Bài 39.

Giải phương trình sau: \(x^2 + 2\sqrt{2}x = 6\)

Bài 40.

Cho phương trình: \(x^2 - 2x + m - 1 = 0(1)\) với \(m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(x_1x_2 - 1 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\)

Bài 41.

Cho phương trình: \(x^2 - 2(m - 1)x - m - 3 = 0\). Tìm \(m\) để biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 42.

Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình : \((*)\). Tính giá trị của biểu thức $ ’ > 0 - m > 0 m < 4$

Bài 43.

Cho phương trình \(3x^2 - 2x - 4 = 0\) (1). Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\). Tính giá trị biểu thức : \(A = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}\)

Bài 44.

Cho phương trình \(3x^2 - 11x - 15 = 0\) có 2 nghiệm là \(x_1,x_2\) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{3x_1}{x_2} + \frac{3x_2}{x_1}\)

Bài 45.

Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2x^2 - 3x - 4 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = (x_1 + x_2)^2 + x_1x_2\).

Bài 46.

Cho phương trình: \(2x^2 - 4x - 3 = 0\) có hai nghiệm là \(x_1; x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: \(A = (x_1 - x_2)^2\).

Bài 47.

Biết rằng phương trình bậc hai \(2x^2 - 4x + m = 0\) có một nghiệm \(x = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}\). Tính tổng nghịch đảo hai nghiệm của phương trình trên.

Bài

Biết rằng phương trình bậc hai \(x^2 + x + m = 0\) có hai nghiệm là \(x_1 = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\) và \(x_2\). Tính giá trị của biểu thức \(A = 2024x_1 + 2025x_2\).

Bài 48.

Cho phương trình \(3x^2 - 6x + 2 = 0\) có hai nghiệm là \(x_1\), \(x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2\).

Bài 49.

Gọi \(x_1, x_2\) là các nghiệm của phương trình \(x^2 - 3x - 10 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: \(A = \frac{x_1 + 1}{x_2} + \frac{x_2 + 1}{x_1}\)