🏠 Trang chủ Kiểm tra Mini Game Mầm Chồi Lá Bản trả phí

CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

I. LÝ THUYẾT

1. Phương trình tích

Để giải phương trình tích $(ax + b)(cx + d) = 0$, ta giải hai phương trình $ax + b = 0$ và $cx + d = 0$.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4. (Kết luận). Trong các giá trị vừa tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Câu 1. Phương trình $(4 + 2x)(x - 1) = 0$ có nghiệm là:

A. $x = 1;\ x = 2$ B. $x = -2;\ x = 1$ C. $x = -1;\ x = 2$ D. $x = 1;\ x = \dfrac{1}{2}$

Lời giải. $(4+2x)(x-1)=0 \Leftrightarrow 4+2x=0$ hoặc $x-1=0 \Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=1$. Đáp án B.

Câu 2. Các nghiệm của phương trình $(2 + 6x)(-x^2 - 4) = 0$ là:

A. $x = 2$ B. $x = -2$ C. $x = -\dfrac{1}{2};\ x = 2$ D. $x = -\dfrac{1}{3}$

Lời giải. Vì $-x^2-4 = -(x^2+4) < 0$ với mọi $x$ nên $-x^2-4\ne 0$. Do đó $(2+6x)(-x^2-4)=0 \Leftrightarrow 2+6x=0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{3}$. Đáp án D.

Câu 3. Phương trình $(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$ có số nghiệm là:

A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

Lời giải. Phương trình tương đương $x-1=0$ hoặc $x-2=0$ hoặc $x-3=0$, cho ba nghiệm phân biệt $x\in{1;2;3}$. Đáp án C.

Câu 4. Tổng các nghiệm của phương trình $(x^2 - 4)(x + 6)(x - 8) = 0$ là:

A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

Lời giải. $(x^2-4)(x+6)(x-8) = (x-2)(x+2)(x+6)(x-8) = 0$ cho 4 nghiệm $2;-2;-6;8$. Tổng $= 2+(-2)+(-6)+8 = 2$. Đáp án B.

Câu 5. Chọn khẳng định đúng.

A. Phương trình $8x(3x - 5) = 6(3x - 5)$ có hai nghiệm trái dấu. B. Phương trình $8x(3x - 5) = 6(3x - 5)$ có hai nghiệm cùng dương. C. Phương trình $8x(3x - 5) = 6(3x - 5)$ có hai nghiệm cùng âm. D. Phương trình $8x(3x - 5) = 6(3x - 5)$ có một nghiệm duy nhất.

Lời giải. $8x(3x-5)-6(3x-5)=0 \Leftrightarrow (3x-5)(8x-6)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{5}{3}$ hoặc $x=\dfrac{3}{4}$. Hai nghiệm cùng dương. Đáp án B.

Câu 6. Tích các nghiệm của phương trình $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ là:

A. $1$ B. $2$ C. $-6$ D. $6$

Lời giải. Thử $x=1$: $1+4+1-6=0$, vậy $(x-1)$ là nhân tử. Chia đa thức: $x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x^2+5x+6)=(x-1)(x+2)(x+3)$. Nghiệm ${1;-2;-3}$. Tích $=1\cdot(-2)\cdot(-3)=6$. Đáp án D.

Câu 7. Nghiệm lớn nhất của phương trình $(x^2 - 1)(2x - 1) = (x^2 - 1)(x + 3)$ là:

A. $2$ B. $1$ C. $-1$ D. $4$

Lời giải. Chuyển vế: $(x^2-1)\big[(2x-1)-(x+3)\big]=0 \Leftrightarrow (x^2-1)(x-4)=0 \Leftrightarrow x=\pm 1$ hoặc $x=4$. Nghiệm lớn nhất là $4$. Đáp án D.

Câu 8. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $(2x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 0$ là:

A. $0$ B. $2$ C. $3$ D. $-2$

Lời giải. Dùng hằng đẳng thức $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$: $(2x+1-x+1)(2x+1+x-1) = (x+2)(3x) = 0 \Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=0$. Nghiệm nhỏ nhất là $-2$. Đáp án D.

Câu 9. Tập nghiệm của phương trình $(x^2 + x)(x^2 + x + 1) = 6$ là:

A. $S = {-1;\ -2}$ B. $S = {1;\ 2}$ C. $S = {1;\ -2}$ D. $S = {-1;\ 2}$

Lời giải. Đặt $t=x^2+x$: $t(t+1)=6 \Leftrightarrow t^2+t-6=0 \Leftrightarrow (t-2)(t+3)=0$.

Tập nghiệm $S={1;-2}$. Đáp án C.

Câu 10. Tìm $m$ để phương trình $(2m - 5)x - 2m^2 + 8 = 43$ có nghiệm $x = -7$.

A. $m = 0$ hoặc $m = 7$ B. $m = 1$ hoặc $m = -7$ C. $m = 0$ hoặc $m = -7$ D. $m = -7$

Lời giải. Thay $x=-7$: $-7(2m-5) - 2m^2 + 8 = 43 \Leftrightarrow -14m + 35 - 2m^2 + 8 = 43 \Leftrightarrow -2m^2 - 14m = 0 \Leftrightarrow -2m(m+7)=0 \Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=-7$. Đáp án C.

Câu 11. Tập nghiệm của phương trình $\left(5x^2 - 2x + 10\right)^2 = \left(3x^2 + 10x - 8\right)^2$ là:

A. $S = \left{\dfrac{1}{2};\ 3\right}$ B. $S = \left{\dfrac{1}{2};\ -3\right}$ C. $S = \left{-\dfrac{1}{2};\ 3\right}$ D. $S = \left{-\dfrac{1}{2};\ -3\right}$

Lời giải. $A^2=B^2 \Leftrightarrow A=B$ hoặc $A=-B$.

$S=\left{-\dfrac{1}{2};\ 3\right}$. Đáp án C.

Câu 12. Biết rằng phương trình $(x^2 - 1)^2 = 4x + 1$ có nghiệm lớn nhất là $x_0$. Chọn khẳng định đúng.

A. $x_0 = 3$ B. $x_0 < 2$ C. $x_0 > 1$ D. $x_0 < 0$

Lời giải. $(x^2-1)^2 = x^4-2x^2+1$. Phương trình thành $x^4-2x^2-4x=0 \Leftrightarrow x(x^3-2x-4)=0$. Thử $x=2$: $8-4-4=0$, vậy $x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)$. Vì $x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0$ nên nghiệm chỉ là $x=0$ hoặc $x=2$. Nghiệm lớn nhất $x_0=2 > 1$. Đáp án C.

Câu 13. Cho phương trình (1) $x(x^2 - 4x + 5) = 0$ và phương trình $(x^2 - 1)(x^2 + 4x + 5) = 0$ (2). Chọn khẳng định đúng.

A. Phương trình (1) có một nghiệm, phương trình (2) có hai nghiệm. B. Phương trình (1) có hai nghiệm, phương trình (2) có một nghiệm. C. Hai phương trình đều có hai nghiệm. D. Hai phương trình đều vô nghiệm.

Lời giải. Xét (1): $x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0$ nên (1) chỉ có nghiệm $x=0$ — đúng 1 nghiệm.

Xét (2): $x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0$ nên chỉ còn $x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm 1$ — đúng 2 nghiệm.

Đáp án A.

Câu 14. Số nghiệm của phương trình $(x^2 + 9)(x - 1) = (x^2 + 9)(x + 3)$ là:

A. $2$ B. $1$ C. $0$ D. $3$

Lời giải. Chuyển vế: $(x^2+9)\big[(x-1)-(x+3)\big] = (x^2+9)(-4) = 0$. Vì $x^2+9>0$ và $-4\ne 0$ nên phương trình vô nghiệm. Đáp án C.

Câu 15. Tập nghiệm của phương trình $(x^2 - x - 1)(x^2 - x + 1) = 3$ là:

A. $S = {-1;\ -2}$ B. $S = {1;\ 2}$ C. $S = {1;\ -2}$ D. $S = {-1;\ 2}$

Lời giải. Đặt $u=x^2-x$: $(u-1)(u+1) = u^2-1 = 3 \Leftrightarrow u^2=4 \Leftrightarrow u=\pm 2$.

$S={-1;\ 2}$. Đáp án D.

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{1}{x-2} + 3 = \dfrac{3-x}{x-2}$ là:

A. $x \neq 3$ B. $x \neq 2$ C. $x \neq -3$ D. $x \neq -2$

Lời giải. Mẫu thức $x-2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$. Đáp án B.

Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{2x}{x^2-1} = 0$ là:

A. $x \neq -1;\ x \neq -2$ B. $x \neq 0$ C. $x \neq 2$ và $x \neq \pm 1$ D. $x \neq -2;\ x \neq 1$

Lời giải. Các mẫu: $x-2\ne 0$ và $x^2-1=(x-1)(x+1)\ne 0$, tức $x\ne 2$ và $x\ne \pm 1$. Đáp án C.

Câu 3. Phương trình $\dfrac{6x}{9 - x^2} = \dfrac{x}{x+3} - \dfrac{3}{3-x}$ có nghiệm là:

A. $x = -3$ B. $x = -2$ C. Vô nghiệm D. Vô số nghiệm

Lời giải. ĐKXĐ: $x\ne \pm 3$. Viết $9-x^2 = (3-x)(3+x)$, quy đồng mẫu chung $(3-x)(3+x)$:

$\dfrac{6x}{(3-x)(3+x)} = \dfrac{x(3-x)-3(3+x)}{(3-x)(3+x)}$

Khử mẫu: $6x = 3x - x^2 - 9 - 3x = -x^2 - 9 \Leftrightarrow x^2+6x+9=0 \Leftrightarrow (x+3)^2=0 \Leftrightarrow x=-3$. Loại do vi phạm ĐKXĐ. Phương trình vô nghiệm. Đáp án C.

Câu 4. Trong các khẳng định sau, số khẳng định đúng là:

a) Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{x^2 + 3x}{x} = 0$ là ${0;\ -3}$.

b) Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ là ${-2}$.

c) Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{x - 8}{x - 7} = \dfrac{1}{7 - x} + 8$ là ${0}$.

A. $1$ B. $2$ C. $0$ D. $3$

Lời giải.

a) ĐKXĐ $x\ne 0$. $x(x+3)=0 \Rightarrow x=-3$ (vì $x=0$ loại). $S={-3}$ — sai.

b) ĐKXĐ $x\ne 2$. $(x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x=-2$. $S={-2}$ — đúng.

c) ĐKXĐ $x\ne 7$. Vì $\dfrac{1}{7-x}=-\dfrac{1}{x-7}$, viết lại: $\dfrac{x-8}{x-7}+\dfrac{1}{x-7}=8 \Leftrightarrow \dfrac{x-7}{x-7}=8 \Leftrightarrow 1=8$, vô lý. $S=\varnothing$ — sai.

Chỉ 1 khẳng định đúng. Đáp án A.

Câu 5. Số nghiệm của phương trình $\dfrac{x-5}{x-1} + \dfrac{2}{x-3} = 1$ là:

A. $3$ B. $2$ C. $0$ D. $1$

Lời giải. ĐKXĐ $x\ne 1; x\ne 3$. Quy đồng mẫu $(x-1)(x-3)$:

$(x-5)(x-3) + 2(x-1) = (x-1)(x-3)$ $\Leftrightarrow x^2-8x+15+2x-2 = x^2-4x+3$ $\Leftrightarrow -6x+13 = -4x+3 \Leftrightarrow -2x=-10 \Leftrightarrow x=5$ (thoả ĐKXĐ).

Có 1 nghiệm. Đáp án D.

Câu 6. Phương trình $\dfrac{3x-5}{x-1} - \dfrac{2x-5}{x-2} = 1$ có số nghiệm là:

A. $1$ B. $2$ C. $0$ D. $3$

Lời giải. ĐKXĐ $x\ne 1; x\ne 2$. Quy đồng:

$(3x-5)(x-2) - (2x-5)(x-1) = (x-1)(x-2)$

Tử trái: $3x^2-11x+10 - (2x^2-7x+5) = x^2-4x+5$.

$x^2-4x+5 = x^2-3x+2 \Leftrightarrow -x = -3 \Leftrightarrow x=3$ (thoả ĐKXĐ).

1 nghiệm. Đáp án A.

Câu 7. Cho phương trình $\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{7}{x-2} = \dfrac{-1}{(x-1)(2-x)}$. Bạn Long giải phương trình như sau:

Bước 1: ĐKXĐ: $x \neq 1;\ x \neq 2$

Bước 2: $\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{7}{x-2} = \dfrac{-1}{(x-1)(2-x)}$

Quy đồng ta được: $\dfrac{x-2}{(x-1)(x-2)} - \dfrac{7(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{-1}{(x-1)(x-2)}$

Bước 3: Bỏ mẫu suy ra $x - 2 - 7x + 7 = -1$

\[6x = -6 \implies x = 1\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {1}$.

Chọn câu đúng.

A. Bạn Long giải sai từ bước 1 B. Bạn Long giải sai từ bước 2 C. Bạn Long giải sai từ bước 3 D. Bạn Long giải đúng.

Lời giải. Long quy đồng vế phải sai dấu: $\dfrac{-1}{(x-1)(2-x)} = \dfrac{-1}{-(x-1)(x-2)} = \dfrac{1}{(x-1)(x-2)}$, không phải $\dfrac{-1}{(x-1)(x-2)}$. Ngoài ra, ngay cả khi bài toán đi đúng tới $x=1$ thì $x=1$ vẫn vi phạm ĐKXĐ nên phải loại. Long sai bắt đầu từ Bước 2. Đáp án B.

Câu 8. Cho hai biểu thức: $A = 1 + \dfrac{1}{2+x}$ và $B = \dfrac{12}{x^3 + 8}$. Tìm $x$ sao cho $A = B$.

A. $x = 0$ B. $x = 1$ C. $x = -1$ D. $x = 0;\ x = 1$

Lời giải. $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$. ĐKXĐ: $x\ne -2$ (vì $x^2-2x+4=(x-1)^2+3>0$).

$A = \dfrac{(2+x)+1}{2+x} = \dfrac{x+3}{x+2}$. Phương trình $\dfrac{x+3}{x+2} = \dfrac{12}{(x+2)(x^2-2x+4)}$. Khử mẫu (nhân $(x+2)$):

$(x+3)(x^2-2x+4) = 12$ $\Leftrightarrow x^3 - 2x^2 + 4x + 3x^2 - 6x + 12 = 12$ $\Leftrightarrow x^3 + x^2 - 2x = 0$ $\Leftrightarrow x(x-1)(x+2) = 0$ $\Leftrightarrow x=0;\ x=1;\ x=-2$ (loại).

Vậy $x=0$ hoặc $x=1$. Đáp án D.

Câu 9. Cho phương trình 1: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x-2} = 0$ và phương trình 2: $\dfrac{x-1}{x+2} - \dfrac{x}{x-2} = \dfrac{5x-2}{4-x^2}$.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai phương trình có cùng điều kiện xác định. B. Hai phương trình có cùng số nghiệm. C. Phương trình 2 có nhiều nghiệm hơn phương trình 1. D. Phương trình 2 có ít nghiệm hơn phương trình 1.

Lời giải. PT1: ĐKXĐ $x\ne 0; x\ne 2$. Quy đồng: $\dfrac{x-2+2x}{x(x-2)}=0 \Rightarrow 3x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$. → 1 nghiệm.

PT2: ĐKXĐ $x\ne \pm 2$. Vì $4-x^2 = -(x-2)(x+2)$, nhân hai vế với $(x-2)(x+2)$:

$(x-1)(x-2) - x(x+2) = -(5x-2)$ $\Leftrightarrow (x^2-3x+2) - (x^2+2x) = -5x+2$ $\Leftrightarrow -5x+2 = -5x+2$ — đúng với mọi $x$ thoả ĐKXĐ. → Vô số nghiệm.

So sánh: ĐKXĐ khác nhau (A sai), số nghiệm khác (B sai), PT2 nhiều nghiệm hơn PT1 (C đúng). Đáp án C.

Câu 10. Biết $x_0$ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

\[\frac{1}{x^2 + 4x + 3} + \frac{1}{x^2 + 8x + 15} + \frac{1}{x^2 + 12x + 35} + \frac{1}{x^2 + 16x + 63} = \frac{1}{5}\]

Chọn khẳng định đúng.

A. $x_0 > 0$ B. $x_0 < -5$ C. $x_0 = -10$ D. $x_0 > 5$

Lời giải. Phân tích các mẫu:

Dùng $\dfrac{1}{(x+a)(x+a+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+a+2}\right)$:

Tổng $= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+9}\right) = \dfrac{4}{(x+1)(x+9)}$.

$\dfrac{4}{(x+1)(x+9)} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow (x+1)(x+9)=20 \Leftrightarrow x^2+10x-11=0 \Leftrightarrow (x-1)(x+11)=0 \Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-11$.

Nghiệm nhỏ nhất $x_0=-11 < -5$. Đáp án B.

Câu 11. Số nghiệm của phương trình $\dfrac{x^2 + 3x + 2}{x+3} - \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x-1} = \dfrac{4x+4}{x^2 + 2x - 3}$ là:

A. $2$ B. $1$ C. $4$ D. $3$

Lời giải. Phân tích: $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$; $x^2+2x+1=(x+1)^2$; $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$. ĐKXĐ $x\ne -3; x\ne 1$.

Phương trình: $\dfrac{(x+1)(x+2)}{x+3} - \dfrac{(x+1)^2}{x-1} = \dfrac{4(x+1)}{(x-1)(x+3)}$

Nhân hai vế với $(x-1)(x+3)$: $(x+1)(x+2)(x-1) - (x+1)^2(x+3) = 4(x+1)$

Đặt $(x+1)$ làm thừa số chung: $(x+1)\big[(x+2)(x-1) - (x+1)(x+3) - 4\big] = 0$

Trong ngoặc vuông: $(x^2+x-2) - (x^2+4x+3) - 4 = -3x-9 = -3(x+3)$.

$(x+1)\cdot(-3)(x+3) = 0 \Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=-3$ (loại). Vậy 1 nghiệm $x=-1$. Đáp án B.

Câu 12. Cho phương trình:

\[\frac{1}{x^2 + 3x + 2} + \frac{1}{x^2 + 5x + 6} + \frac{1}{x^2 + 7x + 12} + \frac{1}{x^2 + 9x + 20} = \frac{1}{3}\]

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên là:

A. $-48$ B. $48$ C. $-50$ D. $50$

Lời giải. Tương tự Câu 10: các mẫu tách dạng $(x+k)(x+k+1)$ với $k=1,2,3,4$, dùng $\dfrac{1}{(x+a)(x+a+1)}=\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+a+1}$:

Tổng $= \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+5} = \dfrac{4}{(x+1)(x+5)}$.

$\dfrac{4}{(x+1)(x+5)} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow (x+1)(x+5)=12 \Leftrightarrow x^2+6x-7=0 \Leftrightarrow (x-1)(x+7)=0 \Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-7$.

Tổng bình phương: $1^2+(-7)^2 = 50$. Đáp án D.

Câu 13. Cho phương trình $\dfrac{a}{1 + bx} = \dfrac{b}{1 + ax}$ với $a,\ b$ là các tham số khác $0$. Phương trình vô nghiệm khi nào?

A. $a = b$ B. $a = 2b$ C. $a = -2b$ D. $a = -b$

Lời giải. Khử mẫu (giả sử các mẫu khác $0$): $a(1+ax) = b(1+bx) \Leftrightarrow (a^2-b^2)x = b-a \Leftrightarrow (a-b)(a+b)x = -(a-b)$.

Vậy phương trình vô nghiệm khi $a=-b$. Đáp án D.

Câu 14. Phương trình

\[\frac{1}{x^2 + 4x + 3} + \frac{1}{x^2 + 8x + 15} + \frac{1}{x^2 + 12x + 35} + \frac{1}{x^2 + 16x + 63} = \frac{1}{5}\]

có tập nghiệm là:

A. Vô nghiệm. B. Vô số nghiệm thuộc $\mathbb{R}$. C. $x = 1;\ x = -11$. D. $x = 1;\ x = 11;\ x = -11$.

Lời giải. Theo Câu 10, $\dfrac{4}{(x+1)(x+9)}=\dfrac{1}{5} \Leftrightarrow (x+1)(x+9)=20 \Leftrightarrow x^2+10x-11=0 \Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-11$. ĐKXĐ: $x\notin{-1,-3,-5,-7,-9}$, hai nghiệm trên đều thoả. Đáp án C.