PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Phần Lý thuyết trọng tâm
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình $\sin(x) = m$ (1)
-
Với $|m| \gt 1$, phương trình (1) vô nghiệm.
-
Với $|m| \le 1$, gọi $\alpha$ là số thực thuộc đoạn $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ sao cho $\sin(\alpha) = m$. Khi đó, ta có:
$\sin(x) = m \Leftrightarrow \sin(x) = \sin(\alpha) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$.
Chú ý:
- Một số trường hợp đặc biệt:
- $\sin(x) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
- $\sin(x) = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
- $\sin(x) = 0 \Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z})$
- Nếu $x$ có đơn vị là độ: $\sin(x) = \sin(a^{\circ}) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a^{\circ} + k360^{\circ} \\ x = 180^{\circ} - a^{\circ} + k360^{\circ} \end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$.
b) Phương trình $\cos(x) = m$ (2)
- Với $|m| > 1$, phương trình (2) vô nghiệm.
- Với $|m| \le 1$, gọi $\alpha$ là số thực thuộc đoạn $[0; \pi]$ sao cho $\cos(\alpha) = m$. Khi đó, ta có: $\cos(x) = m \Leftrightarrow \cos(x) = \cos(\alpha) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$.
Chú ý:
- Một số trường hợp đặc biệt:
- $\cos(x) = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
- $\cos(x) = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
- $\cos(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$
- Nếu $x$ có đơn vị là độ: $\cos(x) = cos(a^{\circ}) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a^{\circ} + k360^{\circ} \\ x = -a^{\circ} + k360^{\circ} \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$.
c) Phương trình $\tan(x) = m$
- Gọi $\alpha$ là số thực thuộc khoảng $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ sao cho $\tan(\alpha) = m$. Khi đó, ta có:
- Khi đó, ta có: $\tan(x) = m \Leftrightarrow \tan(x) = \tan(\alpha) \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z})$.
- Nếu $x$ có đơn vị là độ: $\tan(x) = \tan(a^{\circ}) \Leftrightarrow x = a^{\circ} + k180^{\circ} (k \in \mathbb{Z})$.
d) Phương trình $\cot(x) = m$
- Gọi $\alpha$ là số thực thuộc khoảng $(0; \pi)$ sao cho $\cot(\alpha) = m$. Khi đó, ta có:
- Khi đó, ta có: $\cot(x) = m \Leftrightarrow \cot(x) = \cot(\alpha) \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z})$.
- Nếu $x$ có đơn vị là độ: $\cot(x) = \cot(a^{\circ}) \Leftrightarrow x = a^{\circ} + k180^{\circ} (k \in \mathbb{Z})$.
- Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản
- $\sin(f(x)) = \sin(g(x)) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) + k2\pi \\ f(x) = \pi - g(x) + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$.
- $\cos(f(x)) = \cos(g(x)) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) + k2\pi \\ f(x) = -g(x) + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$.
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Phương trình mũ
Với $a > 0, a \ne 1$ thì:
- $a^{f(x)} = b \Leftrightarrow f(x) = \log_{a}b$ (với $b > 0$).
- $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$.
Phương trình lôgarit
Với $a > 0, a \ne 1$ thì:
- $\log_{a}f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^{b}$.
- $\log_{a}f(x) = \log_{a}g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x)\gt 0 \\ g(x) \gt 0 \end{cases}$.
Bất phương trình mũ
Với $a > 0, a \ne 1$:
- Xét bất phương trình $a^{f(x)} > b$:
- Nếu $b \le 0$, tập nghiệm là tập xác định của $f(x)$.
- Nếu $b > 0$ và $a > 1$ thì $f(x) \gt \log_{a}b$.
- Nếu $b > 0$ và $0 < a < 1$ thì $f(x) \lt \log_{a}b$.
- Xét bất phương trình $a^{f(x)} \gt a^{g(x)}$:
- Nếu $a > 1$ thì $f(x) \gt g(x)$.
- Nếu $0 < a < 1$ thì $f(x) \lt g(x)$.
Bất phương trình lôgarit
Với $a > 0, a \ne 1$:
- Xét bất phương trình $\log_{a}f(x) \gt b$:
- Nếu $a \gt 1$ thì $f(x) \gt a^{b}$.
- Nếu $0 \lt a \lt 1$ thì $0 \lt f(x) \lt a^{b}$.
- Xét bất phương trình $\log_{a}f(x) \gt \log_{a}g(x)$:
- Nếu $a \gt 1$ thì $f(x) \gt g(x) \gt 0$.
- Nếu $0 \lt a \lt 1$ thì $0 \lt f(x) \lt g(x)$.
Phần Ví dụ
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Ví dụ 1.
Nghiệm của phương trình $\sin(x+\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ là:
A. $x=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi$ và $x=\pi+k2\pi(k\in\mathbb{Z})$.
B. $x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi$ và $x=\frac{\pi}{3}+k2\pi(k\in\mathbb{Z})$.
C. $x=k2\pi$ và $x=\pi+k2\pi(k\in\mathbb{Z})$.
D. $x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ và $x=\frac{5\pi}{3}+k2\pi(k\in\mathbb{Z})$.
Lời giải: Chọn A Ta có: $\sin(x+\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin(x+\frac{\pi}{3})=\sin(-\frac{\pi}{3})$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+\frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x+\frac{\pi}{3} = \pi-(-\frac{\pi}{3}) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ x = \pi + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$.
Ví dụ 2.
Tổng các nghiệm của phương trình $3^{x^{2}-2x}=81$ là:
A. $4$
B. $-4$
C. $-2$
D. $2$
Lời giải: Chọn D $3^{x^{2}-2x}=81$ $\Leftrightarrow 3^{x^{2}-2x}=3^{4}$ $\Leftrightarrow x^{2}-2x=4$ $\Leftrightarrow x^{2}-2x-4=0$. Phương trình có hai nghiệm. Theo định lí Vi-ét, tổng hai nghiệm là $S = -\frac{b}{a} = 2$.
Ví dụ 3.
Nghiệm của phương trình $\log_{16}(x+5)=\frac{1}{2}$ là:
A. $3$
B. $-1$
C. $-3$
D. $27$
Lời giải: Chọn B Điều kiện: $x+5>0 \Leftrightarrow x>-5$. $\log_{16}(x+5)=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x+5=16^{\frac{1}{2}}$ $\Leftrightarrow x+5=4$ $\Leftrightarrow x=-1$ (thỏa mãn).
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai
Ví dụ 5.
Cho phương trình $\sin^{2}(2x+\frac{\pi}{4})=\cos^{2}(x+\frac{\pi}{2})$.
| Mệnh đề | Đúng | Sai | |
|---|---|---|---|
| a) | Hạ bậc hai vế, ta được phương trình: $\frac{1-cos(4x+\frac{\pi}{2})}{2}=\frac{1+cos(2x+\pi)}{2}$. | ||
| b) | Ta có: $\cos(2x+\pi)=-\cos(2x)$. | ||
| c) | Phương trình đã cho đưa về dạng: $\cos(4x+\frac{\pi}{2})=\cos(2x)$. | ||
| d) | Nghiệm của phương trình đã cho là: $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$ và $x=\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{3}(k\in\mathbb{Z})$. |
Lời giải
a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình: $\frac{1-cos(4x+\frac{\pi}{2})}{2}=\frac{1+cos(2x+\pi)}{2}$.
Công thức hạ bậc: $\sin^2\alpha = \frac{1-cos(2\alpha)}{2}$ và $\cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$. Áp dụng vào phương trình, ta có: $\frac{1-cos(2(2x+\frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{1+cos(2(x+\frac{\pi}{2}))}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{1-cos(4x+\frac{\pi}{2})}{2} = \frac{1+cos(2x+\pi)}{2}$.
$\implies$ ĐÚNG
b) Ta có: $\cos(2x+\pi)=-\cos(2x)$.
Áp dụng công thức hơn kém $\pi$: $\cos(\alpha+\pi) = -\cos(\alpha)$. $\implies$ ĐÚNG
c) Phương trình đã cho đưa về dạng: $\cos(4x+\frac{\pi}{2})=\cos(2x)$.
Từ câu a và b, phương trình trở thành: $1-\cos(4x+\frac{\pi}{2}) = 1+\cos(2x+\pi)$ $\Leftrightarrow -\cos(4x+\frac{\pi}{2}) = \cos(2x+\pi)$ $\Leftrightarrow -\cos(4x+\frac{\pi}{2}) = -\cos(2x)$ $\Leftrightarrow \cos(4x+\frac{\pi}{2}) = \cos(2x)$. $\implies$ ĐÚNG
d) Nghiệm của phương trình đã cho là: $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$ và $x=\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{3}(k\in\mathbb{Z})$.
Từ câu c: $\cos(4x+\frac{\pi}{2})=\cos(2x)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x+\frac{\pi}{2} = 2x+k2\pi \\ 4x+\frac{\pi}{2} = -2x+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = -\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ 6x = -\frac{\pi}{2}+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -\frac{\pi}{4}+k\pi \\ x = -\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{3} \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$. So với đáp án, nghiệm thứ hai không khớp. $\implies$ SAI
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Ví dụ 8.
Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (m) theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức: $h=16+7\sin(\frac{\pi}{12}t)$ với $0\le t\le24$. Tính thời điểm mà mực nước tại cảng là cao nhất.
Lời giải: Ta có $-1 \le \sin(\frac{\pi}{12}t) \le 1$. Do đó $h = 16+7\sin(\frac{\pi}{12}t) \le 16+7(1) = 23$. Mực nước cao nhất là $h_{max} = 23$ m. Điều này xảy ra khi $\sin(\frac{\pi}{12}t)=1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}t=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow t=6+24k$. Vì $0\le t\le24$, ta chọn $k=0$, suy ra $t=6$. Trả lời: 6