MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI LÊN

Bài 1 Mạnh, Hùng, Dũng, Minh có một số quyển vở. Mạnh lấy $\dfrac{1}{3}$ số vở để dùng, Hùng lấy $\dfrac{1}{3}$ số vở còn lại để dùng, tiếp theo Dũng cũng lấy $\dfrac{1}{3}$ số vở còn lại. Cuối cùng Minh dùng nốt 8 quyển. Hỏi lúc đầu cả 4 bạn có bao nhiêu quyển ?

Giải: Ta có sơ đồ minh họa quá trình chia vở:

Số vở còn lại sau khi Dũng lấy (Minh dùng) là 8 quyển.

Số vở còn lại sau khi Hùng lấy (trước khi Dũng lấy) là: $(8 : 2) \times 3 = \mathbf{12}$ (quyển). (Giải thích: Vì Dũng lấy $\dfrac{1}{3}$ số còn lại, nên 8 quyển chính là $\dfrac{2}{3}$ số vở còn lại trước khi Dũng lấy.)

Số vở còn lại sau khi Mạnh lấy (trước khi Hùng lấy) là: $(12 : 2) \times 3 = \mathbf{18}$ (quyển). (Giải thích: Vì Hùng lấy $\dfrac{1}{3}$ số còn lại, nên 12 quyển chính là $\dfrac{2}{3}$ số vở còn lại trước khi Hùng lấy.)

Số vở ban đầu là: $(18 : 2) \times 3 = \mathbf{27}$ (quyển). (Giải thích: Vì Mạnh lấy $\dfrac{1}{3}$ tổng số vở, nên 18 quyển chính là $\dfrac{2}{3}$ tổng số vở ban đầu.) \textbf{Đáp số:} 27 quyển

Bài 2. Một người bán cam, lần thứ nhất người đó bán $\dfrac{1}{2}$ số cam và 1 quả. Lần thứ hai người đó bán $\dfrac{1}{2}$ số cam còn lại và thêm 1 quả. Lần thứ ba người đó bán $\dfrac{1}{2}$ số cam còn lại và 1 quả. Cuối cùng còn lại 10 quả. Hỏi lúc đầu người đó có bao nhiêu quả cam?

Giải: Ta có sơ đồ minh họa quá trình bán cam:

Số cam còn lại sau khi bán lần 2 là: $(10 + 1) \times 2 = \mathbf{22}$ (quả).

Số cam còn lại sau khi bán lần 1 là: $(22 + 1) \times 2 = \mathbf{46}$ (quả).

Số cam ban đầu là: $(46 + 1) \times 2 = \mathbf{94}$ (quả). Đáp số: 94 quả

Bài 3. Nhà Lan nuôi một đàn gà. Tuần trước mẹ bán $\dfrac{2}{3}$ đàn gà. Tuần này mẹ bán $\dfrac{3}{4}$ số gà còn lại và thêm $\dfrac{1}{4}$ con nữa thì đàn gà nhà Lan còn lại 3 đôi gà. Hỏi đàn gà nhà Lan có tất cả bao nhiêu con ?

Giải: Ta có: 3 đôi gà = 6 con gà.

Ta có sơ đồ minh họa quá trình bán gà:

Số gà còn lại sau khi bán lần 1 (trước khi bán tuần này) là: $(6 + \dfrac{1}{4}) \times 4 = 25$ (con).

Số gà ban đầu là: $25 \times 3 = 75$ (con).

Đáp số: 75 con

Bài 4. Lớp 5A tham gia học may, ngày thứ nhất có $\dfrac{1}{6}$ số học sinh của lớp và 2 em tham gia, ngày thứ 2 có $\dfrac{1}{4}$ số em còn lại và 1 em tham gia, ngày thứ ba có $\dfrac{2}{5}$ số còn lại sau 2 ngày và 3 em tham gia. Ngày thứ tư có $\dfrac{2}{5}$ số còn lại sau 3 ngày và 1 em tham gia. Cuối cùng còn lại 5 em chưa tham gia. Hỏi lớp 5A có bao nhiêu học sinh ?

Giải: Ta có sơ đồ các bước giải ngược:

Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ ba là: $(5 + 1) : 3 \times 5 = 10$ (em).

Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ hai là: $(10 + 2) : 3 \times 5 = 20$ (em).

Số em học sinh còn lại sau khi tham gia ngày thứ nhất là: $(20 + 1) : 3 \times 4 = 28$ (em).

Số em học sinh ban đầu là: $(28 + 2) : 5 \times 6 = 36$ (em).

Đáp số: 36 em

Bài 5. Một quầy bán vải, lần thứ nhất bán được 2m, lần thứ hai bán được $\dfrac{1}{2}$ số mét vải còn lại và $\dfrac{1}{2}$ m, lần thứ ba bán $\dfrac{1}{2}$ số mét vải còn lại sau 2 lần bán và $\dfrac{1}{2}$ m, lần thứ tư bán $\dfrac{1}{2}$ số mét vải còn lại sau 3 lần bán và $\dfrac{1}{2}$ m, lần thứ tư bán $\dfrac{1}{2}$ số mét vải còn lại sau 3 lần bán và $\dfrac{1}{2}$ m, như vậy là hết. Hỏi quầy đã bán tất cả bao nhiêu mét vải ?

Giải: Ta có sơ đồ minh họa quá trình bán vải:

Số mét vải còn lại sau khi bán lần thứ 3 là: $(0 + \dfrac{1}{2}) \times 2 = 1$ (m).

Số mét vải còn lại sau khi bán lần thứ 2 là: $(1 + \dfrac{1}{2}) \times 2 = 3$ (m).

Số mét vải còn lại sau khi bán lần thứ 1 là: $(3 + \dfrac{1}{2}) \times 2 = 7$ (m).

Số mét vải ban đầu: $7 + 2 = 9$ (m).

Đáp số: 9m

Bài tập tự luyện

Dưới đây là các bài tập tự luyện từ nguồn, không kèm lời giải chi tiết.

1. Một người bán khoai cho 3 người: Người thứ nhất mua $\dfrac{1}{4}$ số khoai và 10kg, người thứ hai mua $\dfrac{5}{11}$ kg còn lại và 10kg, người thứ ba mua 50kg thì hết. Hỏi số lượng khoai đã bán là bao nhiêu ki - lô - gam ?

2. Một học sinh đọc một quyển truyện trong 3 ngày. Ngày đầu em đọc được $\dfrac{1}{5}$ số trang và 16 trang, ngày thứ hai em đọc được $\dfrac{3}{10}$ số trang còn lại và 20 trang, ngày thứ ba em đọc được $\dfrac{3}{4}$ số trang còn lại và 30 trang cuối cùng. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

3. Một người cha khi chết để lại di chúc chia gia tài cho các con như sau: Người con cả được 100 đồng và $\dfrac{1}{10}$ số tiền còn lại Người con thứ hai được 200 đồng và $\dfrac{1}{10}$ số tiền còn lại Người con thứ ba được 300 đồng và $\dfrac{1}{10}$ số tiền còn lại. Hỏi mỗi người con được chia bao nhiêu tiền?

4. Dì Út đi chợ bán trứng. Lần thứ nhất một nửa số trứng cộng thêm 1 quả, lần thứ hai bán một nửa số trứng còn lại cộng thêm 2 quả và lần thứ ba bán một nửa số trứng còn lại sau hai lần bán cộng thêm 3 quả thì vừa hết số trứng. Hỏi dì Út đã bán tất cả bao nhiêu quả trứng?

5. Một người cha khi chết để lại di chúc phân chia gia tài cho bốn người con như sau: Người con cả được một nửa gia tài bớt đi 3000 đồng. Người con thứ hai được $\dfrac{1}{3}$ gia tài còn lại bớt đi 1000 đồng. Người con thứ ba được đúng $\dfrac{1}{4}$ gia tài còn lại Người con út được $\dfrac{1}{5}$ gia tài còn lại và 6000 đồng còn lại.

Hỏi cả gia tài của người cha có bao nhiêu tiền và mỗi người con được chia bao nhiêu?