Question 2. FROM 1 TO 1,000,000,000

When the celebrated German mathematician Karl Friedrich Gauss (1777-1855) was nine he was asked to add all the integers from 1 through 100. He quickly added 1 to 100, 2 to 99, and so on for 50 pairs of numbers each adding to 101. Answer: 50 × 101 = 5,050.

Now find the sum of all the digits in the integers from 1 through 1,000,000,000. That’s all the digits in all the numbers, not all the numbers themselves.

(Khi nhà toán học Đức nổi tiếng Karl Friedrich Gauss (1777-1855) lên chín tuổi, ông được yêu cầu cộng tất cả các số nguyên từ 1 đến 100. Ông nhanh chóng cộng 1 với 100, 2 với 99, và cứ thế cho 50 cặp số, mỗi cặp có tổng là 101. Đáp án: 50 × 101 = 5,050.

Bây giờ hãy tìm tổng của tất cả các chữ số trong các số nguyên từ 1 đến 1,000,000,000. Đó là tất cả các chữ số trong tất cả các số, không phải tất cả các số.)

Hướng dẫn giải

Đây là một bài toán tổ hợp phức tạp về việc đếm chữ số. Chúng ta cần phân tích cấu trúc của các số từ 1 đến 1,000,000,000 để tìm ra quy luật.

Phân tích bài toán:

• Cần tìm tổng tất cả các chữ số từ 1 đến 1,000,000,000
• $1,000,000,000 = 10^9$ (số có 10 chữ số)
• Cần đếm số lần xuất hiện của mỗi chữ số từ 0 đến 9

Cách giải:

Phương pháp 1: Phân tích theo vị trí chữ số

Gọi $S(n)$ là tổng các chữ số từ 1 đến $10^n - 1$.

Với $n = 9$, ta cần tìm $S(9)$.

Tính $S(n)$:

1. Số có 1 chữ số (1-9):
   • Tổng: $1 + 2 + … + 9 = 45$
2. Số có 2 chữ số (10-99):
   • Chữ số hàng chục: xuất hiện 9 lần cho mỗi chữ số từ 1-9
   • Chữ số hàng đơn vị: xuất hiện 10 lần cho mỗi chữ số từ 0-9
   • Tổng: $9 \times (1+2+…+9) + 10 \times (0+1+…+9) = 9 \times 45 + 10 \times 45 = 855$
3. Số có 3 chữ số (100-999):
   • Chữ số hàng trăm: xuất hiện 100 lần cho mỗi chữ số từ 1-9
   • Chữ số hàng chục và đơn vị: mỗi chữ số xuất hiện 90 lần
   • Tổng: $100 \times 45 + 90 \times 45 + 90 \times 45 = 12,600$

Công thức tổng quát:

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} 9 \times 10^{k-1} \times 45$

$S(9) = 9 \times 45 + 9 \times 10 \times 45 + 9 \times 100 \times 45 + … + 9 \times 10^8 \times 45$

$S(9) = 9 \times 45 \times (1 + 10 + 100 + … + 10^8)$

$S(9) = 9 \times 45 \times \frac{10^9 - 1}{10 - 1} = 9 \times 45 \times \frac{10^9 - 1}{9} = 45 \times (10^9 - 1)$

$S(9) = 45 \times 999,999,999 = 44,999,999,955$

Phương pháp 2: Sử dụng đối xứng

Mỗi chữ số từ 0-9 xuất hiện với tần suất gần như bằng nhau ở mỗi vị trí.

Tổng các chữ số = (số lần xuất hiện trung bình) × (tổng các chữ số 0-9) × (số vị trí)

Đáp án: Tổng tất cả các chữ số từ 1 đến 1,000,000,000 là 44,999,999,955.