Ôn thi chuyên sư phạm 1 (đề chung).

Rút gọn biểu thức (T9 NcvaPT VHB T1)

Bài tập

14. Rút gọn biểu thức :

$$A = \sqrt{x + 2\sqrt{2x - 4}} + \sqrt{x - 2\sqrt{2x - 4}}$$

15. Cho biểu thức :

$$A = \frac{x + \sqrt{x^{2} - 2x}}{x - \sqrt{x^{2} - 2x}} - \frac{x - \sqrt{x^{2} - 2x}}{x + \sqrt{x^{2} - 2x}}$$

1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.

2. Rút gọn biểu thức A.

3. Tìm giá trị của x để A < 2.

21.

1. Rút gọn biểu thức

$$A = \sqrt{1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{(a + 1)^{2}}}$$

• với $a > 0$.

2. Tính giá trị của tổng

$$B = \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \ldots + \sqrt{1 + \frac{1}{99^{2}} + \frac{1}{100^{2}}}$$

Rút gọn các biểu thức (bài 29 - 35) :

29.

$$A = \frac{1 + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1 - \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}$$

• ;

$$B = \left( \frac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a} \right)\left( \frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a} \right)^{2}$$

• ;

$$C = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left\lbrack \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\frac{1}{x + y + 2\sqrt{xy}} + \frac{2}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{3}}\left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} \right) \right\rbrack$$

• với $x = 2 - \sqrt{3}$ và $y = 2 + \sqrt{3}$.

30.

$$P = \frac{1 - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}}$$

31.

$$Q = \frac{\sqrt{x + \sqrt{x^{2} - y^{2}}} - \sqrt{x - \sqrt{x^{2} - y^{2}}}}{\sqrt{2(x - y)}}$$

với $x > y > 0$.

32.

$$A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right)$$

với $x = \frac{a^{2} + b^{2}}{2ab}$ và $b > a > 0$.

33.

$$B = \frac{2a\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} - x}$$

với $x = \frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{1 - a}{a}} - \sqrt{\frac{a}{1 - a}} \right)$ và $0 < a < 1$.

34.

$$M = (a + b) - \sqrt{\frac{(a^{2} + 1)(b^{2} + 1)}{c^{2} + 1}}$$

với $a,b,c > 0$ và $ab + bc + ca = 1$.

35.

$$A = \frac{\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}}{\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}}} \cdot \sqrt{2x - 1}$$

36. Chứng minh hằng đẳng thức sau với $x \geq 2$:

$$\sqrt{\sqrt{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - 4}{x}}} + \sqrt{\sqrt{x} - \sqrt{\frac{x^{2} - 4}{x}}} = \sqrt{\frac{2x + 4}{\sqrt{x}}}$$

37. Cho $a = \frac{- 1 + \sqrt{2}}{2},b = \frac{- 1 - \sqrt{2}}{2}$. Tính $a^{7} + b^{7}$.

38. Cho biết

$$\sqrt{x^{2} - 6x + 13} - \sqrt{x^{2} - 6x + 10} = 1$$

Tính

$$\sqrt{x^{2} - 6x + 13} + \sqrt{x^{2} - 6x + 10}$$

39. Cho biểu thức

$$M = \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} - 2}$$

1. Tìm các số nguyên a để M là số nguyên.

2. Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.

40. Cho $a = \sqrt{2} - 1$.

1. Viết $a^{2},a^{3}$ dưới dạng $\sqrt{m} - \sqrt{m - 1}$ trong đó m là số tự nhiên.

b*) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số $a^{n}$ viết được dưới dạng trên.