Bài 2. Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ
Toán 7 — Chương 1: Số hữu tỉ · Lời giải chi tiết kèm lý thuyết trọng tâm
Cộng, trừ số hữu tỉ
- Viết các số về phân số rồi quy đồng mẫu dương, sau đó cộng/trừ tử, giữ nguyên mẫu.
- Phép trừ là cộng với số đối: $a - b = a + (-b)$.
- Dùng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các số "đẹp" lại với nhau.
Nhân, chia số hữu tỉ
- Nhân: $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}$ (nên rút gọn chéo trước khi nhân).
- Chia là nhân với nghịch đảo: $\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$ (với $c\neq0$).
- Tính chất phân phối: $a\cdot b + a\cdot c = a\cdot(b+c)$ — chìa khóa để tính hợp lí.
Tìm x · Tích bằng 0
- Quy tắc chuyển vế: chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia phải đổi dấu.
- Tìm thừa số: muốn tìm $x$ trong $a\cdot x=b$ thì $x=b:a$; trong $a:x=b$ thì $x=a:b$.
- Tích bằng 0: $A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0$ hoặc $B=0$.
1 Cộng, trừ số hữu tỉ
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: đổi về phân số, quy đồng mẫu dương rồi cộng/trừ tử.2 Nhân, chia số hữu tỉ
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: rút gọn chéo khi nhân; chia thì nhân với nghịch đảo.3 Tính (có dấu ngoặc)
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: tính trong ngoặc trước, bỏ ngoặc sau dấu trừ thì đổi dấu.a) $\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{-5}{6}\right)-\dfrac{7}{12}$
$\dfrac{3}{4}+\dfrac{-5}{6}=\dfrac{9}{12}-\dfrac{10}{12}=-\dfrac{1}{12}$. Vậy $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{6}{12}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{7}{12}=$ $0$.
b) $-3-\dfrac{2}{3}+\left(\dfrac{-10}{9}-\dfrac{25}{3}\right)-\dfrac{5}{6}$
$\dfrac{-10}{9}-\dfrac{25}{3}=\dfrac{-10}{9}-\dfrac{75}{9}=\dfrac{-85}{9}$. Quy đồng mẫu 18:
$=\dfrac{-54}{18}-\dfrac{12}{18}-\dfrac{170}{18}-\dfrac{15}{18}=$ $\dfrac{-251}{18}$.
4 Tính (theo thứ tự phép tính)
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: nhân, chia trước; cộng, trừ sau. Đổi hỗn số, số thập phân về phân số.a) $\dfrac{3}{4}+\left(-\dfrac{5}{4}\right)\left(-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=$ $1$.
b) $1\dfrac{3}{4}:\left(-\dfrac{7}{6}\right)\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{4}\cdot\left(-\dfrac{6}{7}\right)\cdot\dfrac{2}{3}=-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=$ $-1$.
c) $3\dfrac{2}{15}:(-4{,}7)\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{47}{15}:\left(-\dfrac{47}{10}\right)\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)=$ $1$.
d) $\dfrac{4}{9}\cdot\left(-7{,}5:3\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{4}{9}\cdot\left(-\dfrac{15}{2}:\dfrac{25}{8}\right)=\dfrac{4}{9}\cdot\left(-\dfrac{12}{5}\right)=$ $-\dfrac{16}{15}$.
5 Tính hợp lí
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: đặt thừa số chung (tính chất phân phối) để tính nhanh.a) $\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{5}\cdot1=$ $\dfrac{1}{5}$.
b) $\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{-5}{5}+\dfrac{9}{5}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{9}{25}=\dfrac{20-5+9}{25}=$ $\dfrac{24}{25}$.
c) $\dfrac{34}{15}:\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{15}:\dfrac{3}{2}=\left(\dfrac{34}{15}-\dfrac{4}{15}\right):\dfrac{3}{2}=2:\dfrac{3}{2}=$ $\dfrac{4}{3}$.
d) $\dfrac{5}{17}+\dfrac{12}{5}\cdot\dfrac{4}{17}+\dfrac{12}{17}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{17}+\dfrac{48}{85}+\dfrac{12}{85}=\dfrac{5}{17}+\dfrac{60}{85}=\dfrac{5}{17}+\dfrac{12}{17}=$ $1$.
6 Tính hợp lí (phối hợp phép tính)
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: tính trong ngoặc → chia → cộng trừ.a) $2\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{-3}{5}+\dfrac{1}{3}\right):\dfrac{-4}{9}$. Trong ngoặc $=\dfrac{-9+5}{15}=\dfrac{-4}{15}$;
$\dfrac{-4}{15}:\dfrac{-4}{9}=\dfrac{-4}{15}\cdot\dfrac{9}{-4}=\dfrac{3}{5}$. Vậy $=\dfrac{11}{4}+\dfrac{3}{5}=$ $\dfrac{67}{20}$.
b) $21-3\dfrac{3}{4}:\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{6}\right)=21-\dfrac{15}{4}:\dfrac{5}{24}=21-18=$ $3$.
c) $1\dfrac{1}{6}-\left(\dfrac{-3}{3}+\dfrac{4}{7}\right):\dfrac{-9}{5}$. Trong ngoặc $=-1+\dfrac{4}{7}=\dfrac{-3}{7}$;
$\dfrac{-3}{7}:\dfrac{-9}{5}=\dfrac{5}{21}$. Vậy $=\dfrac{7}{6}-\dfrac{5}{21}=\dfrac{49-10}{42}=\dfrac{39}{42}=$ $\dfrac{13}{14}$.
d) $15-2\dfrac{1}{3}:\left(\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{6}\right)=15-\dfrac{7}{3}:\dfrac{5}{18}=15-\dfrac{42}{5}=$ $\dfrac{33}{5}$.
7 Dãy số có quy luật (sai phân)
a) Tính $M=1-\dfrac{1}{3}$; $N=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}$; $P=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}$. b) Tính $M+N$ và $M+N+P$. c) Tính nhanh $E$ và $F$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1 + mẹo "khử liên tiếp": $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)$.a) $M=\dfrac{2}{3}$; $\;N=\dfrac{2}{15}$; $\;P=\dfrac{2}{35}$.
b) Các số hạng giữa khử nhau: $M+N=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$; $\;M+N+P=1-\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}$.
c) $E=\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\dots+\dfrac{1}{19\cdot21}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{21}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{20}{21}=$ $\dfrac{10}{21}$.
Với $F$: đặt $S=\dfrac{1}{99\cdot97}+\dfrac{1}{97\cdot95}+\dots+\dfrac{1}{3\cdot1}=\dfrac{1}{1\cdot3}+\dots+\dfrac{1}{97\cdot99}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{99}\right)=\dfrac{49}{99}$.
Vậy $F=\dfrac{1}{99}-S=\dfrac{1}{99}-\dfrac{49}{99}=\dfrac{-48}{99}=$ $-\dfrac{16}{33}$.
8 Tìm x (cộng, trừ)
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: chuyển vế đổi dấu để cô lập $x$.a) $x+\dfrac{-3}{7}=\dfrac{-7}{2}+\dfrac{-3}{7}$. Hai vế cùng có $\dfrac{-3}{7}$ ⇒ $x=\dfrac{-7}{2}$.
b) $2{,}5-\dfrac{-7}{5}-x=1{,}5 \Rightarrow 2{,}5+1{,}4-x=1{,}5 \Rightarrow 3{,}9-x=1{,}5 \Rightarrow$ $x=\dfrac{12}{5}$.
c) $\dfrac{1}{3}-x=\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12} \Rightarrow x=\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{4-7}{12}=$ $-\dfrac{1}{4}$.
d) $\dfrac{1}{10}-\left(x-\dfrac{3}{25}\right)=\dfrac{1}{50} \Rightarrow x-\dfrac{3}{25}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{50}=\dfrac{4}{50}=\dfrac{2}{25} \Rightarrow x=\dfrac{2}{25}+\dfrac{3}{25}=$ $\dfrac{1}{5}$.
9 Tìm x (nhân, chia)
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: tìm thừa số/số bị chia/số chia bằng phép tính ngược.10 Tìm x (tích bằng 0)
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: $A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0$ hoặc $B=0$.a) $\left(x+\dfrac{4}{9}\right)\left(x-\dfrac{11}{5}\right)=0 \Rightarrow$ $x=-\dfrac{4}{9}$ hoặc $x=\dfrac{11}{5}$.
b) $\left(2x+\dfrac{5}{3}\right)\left(\dfrac{5}{4}-x\right)=0 \Rightarrow 2x=-\dfrac{5}{3}\Rightarrow$ $x=-\dfrac{5}{6}$ hoặc $x=\dfrac{5}{4}$.
c) $\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{8}{13}\right)\left(2{,}5+\dfrac{-7}{5}:x\right)=0$ (điều kiện $x\neq0$).
- $\dfrac{1}{3}x=\dfrac{8}{13}\Rightarrow x=\dfrac{24}{13}$;
- $\dfrac{-7}{5}:x=-2{,}5\Rightarrow x=\dfrac{-7}{5}:\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{14}{25}$.
Vậy $x=\dfrac{24}{13}$ hoặc $x=\dfrac{14}{25}$.
d) $(-x+3{,}25)(-x)=0 \Rightarrow -x=0$ hoặc $-x+3{,}25=0 \Rightarrow$ $x=0$ hoặc $x=\dfrac{13}{4}$.
11 Bài toán chuyển động
Lúc 7 giờ, An đi xe đạp từ A đến B với vận tốc $12$ km/h; cùng lúc, Bình đi bộ từ B về A với vận tốc $5$ km/h. Hai bạn gặp nhau lúc 7 giờ 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: hai người đi ngược chiều, tổng quãng đường đi được bằng AB; nhớ đổi phút ra giờ.Thời gian đi: từ 7h đến 7h45 là $45$ phút $=\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}$ giờ $=0{,}75$ giờ.
Khi gặp nhau, tổng quãng đường hai bạn đi bằng AB:
$AB=(12+5)\cdot0{,}75=17\cdot0{,}75=$ $12{,}75$ km.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Cộng, trừ khác mẫu phải quy đồng trước; chia là nhân với nghịch đảo.
- $A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0$ hoặc $B=0$; chuyển vế thì đổi dấu số hạng.
- Đổi số thập phân, hỗn số về phân số trước khi tính; bài toán thực tế phải thống nhất đơn vị.
- Mẹo tính nhanh: đặt thừa số chung (phân phối) và dùng tách $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)$ cho dãy có quy luật.