Bài 3. Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ
Toán 7 — Chương 1: Số hữu tỉ · Lời giải chi tiết kèm lý thuyết trọng tâm
Định nghĩa và các quy tắc lũy thừa
- Định nghĩa: $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ thừa số}}$ ($n\in\mathbb{N},\ n>1$); $\;x^1=x$, $\;x^0=1$ (với $x\neq0$).
- Lũy thừa của thương: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$.
- Các quy tắc: $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$; $\;x^m:x^n=x^{m-n}$; $\;(x^m)^n=x^{m\cdot n}$.
- Mũ âm (mở rộng): $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$, ví dụ $2^{-2}=\dfrac{1}{4}$.
Dấu của lũy thừa · Tổng các lũy thừa chẵn
- Lũy thừa mũ chẵn luôn không âm: $x^{2k}\ge0$ với mọi $x$.
- Lũy thừa mũ lẻ cùng dấu với cơ số.
- Tổng các lũy thừa mũ chẵn bằng 0 thì từng hạng tử phải bằng 0: $A^2+B^2=0 \Leftrightarrow A=0$ và $B=0$.
1 Tính lũy thừa
Tính: $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3$; $\left(-1\dfrac{3}{4}\right)^2$; $(-0{,}6)^4$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$; chú ý dấu theo mũ chẵn/lẻ.- $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{(-2)^3}{3^3}=$ $-\dfrac{8}{27}$ (mũ lẻ ⇒ giữ dấu âm).
- $\left(-1\dfrac{3}{4}\right)^2=\left(-\dfrac{7}{4}\right)^2=\dfrac{49}{16}=$ $\dfrac{49}{16}$ (mũ chẵn ⇒ dương).
- $(-0{,}6)^4=(0{,}6)^4=\left(\dfrac{3}{5}\right)^4=\dfrac{81}{625}=$ $0{,}1296$.
2 Viết dưới dạng lũy thừa
Viết số hữu tỉ $\dfrac{81}{625}$ dưới dạng một lũy thừa. Nêu tất cả các cách viết.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: phân tích tử, mẫu thành lũy thừa rồi gộp; nhớ cơ số âm cũng cho kết quả dương nếu mũ chẵn.Ta có $81=3^4$ và $625=5^4$, nên $\dfrac{81}{625}=\dfrac{3^4}{5^4}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^4$.
Mặt khác $81=9^2$, $625=25^2$, nên $\dfrac{81}{625}=\left(\dfrac{9}{25}\right)^2$. Các cách viết:
$\left(\dfrac{3}{5}\right)^4=\left(-\dfrac{3}{5}\right)^4=\left(\dfrac{9}{25}\right)^2=\left(-\dfrac{9}{25}\right)^2$
3 Tính giá trị biểu thức
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: đưa về cùng cơ số rồi cộng/trừ số mũ.a) $\dfrac{(-3)^{10}\cdot15^5}{25^3\cdot(-9)^7}$. Phân tích: $(-3)^{10}=3^{10}$; $\;15^5=3^5\cdot5^5$; $\;25^3=5^6$; $\;(-9)^7=-(3^2)^7=-3^{14}$.
$=\dfrac{3^{10}\cdot3^5\cdot5^5}{5^6\cdot(-3^{14})}=\dfrac{3^{15}\cdot5^5}{-3^{14}\cdot5^6}=-3^{1}\cdot5^{-1}=$ $-\dfrac{3}{5}$.
b) $2^3+3\cdot\left(\dfrac{1}{9}\right)^0-2^{-2}\cdot4+\left[(-2)^2:\dfrac{1}{2}\right]\cdot8$
$=8+3\cdot1-\dfrac{1}{4}\cdot4+\big[4\cdot2\big]\cdot8=8+3-1+8\cdot8=8+3-1+64=$ $74$.
4 Tìm x, y
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: bình phương bằng số dương cho hai giá trị (±); tổng các lũy thừa chẵn bằng 0 thì từng hạng tử bằng 0.a) $(x-1{,}5)^2=9 \Rightarrow x-1{,}5=\pm3 \Rightarrow$ $x=4{,}5$ hoặc $x=-1{,}5$.
b) $(x+1{,}5)^2+(y-2{,}5)^{10}=0$. Hai số hạng đều mũ chẵn nên $\ge0$; tổng bằng 0 ⇒ mỗi số hạng bằng 0:
$x+1{,}5=0$ và $y-2{,}5=0 \Rightarrow$ $x=-1{,}5$ và $y=2{,}5$.
c) $2^{-2}\cdot2^x+2\cdot2^x=9\cdot2^6$. Đặt thừa số chung $2^x$:
$2^x\left(2^{-2}+2\right)=2^x\cdot\dfrac{9}{4}=9\cdot2^6 \Rightarrow 2^x=9\cdot2^6\cdot\dfrac{4}{9}=2^6\cdot2^2=2^8 \Rightarrow$ $x=8$.
5 Tìm số mũ n
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: đưa các vế về cùng cơ số rồi so sánh số mũ.a) $49<7^n<343 \Leftrightarrow 7^2<7^n<7^3 \Leftrightarrow 2 b) $9<9^n\le243$. Đưa về cơ số 3: $9^n=3^{2n}$, $\;9=3^2$, $\;243=3^5$. $3^2<3^{2n}\le3^5 \Leftrightarrow 2<2n\le5 \Leftrightarrow 1 c) $121\ge11^n\ge1 \Leftrightarrow 11^2\ge11^n\ge11^0 \Leftrightarrow 0\le n\le2 \Rightarrow$ $n\in\{0;1;2\}$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$; $\;x^m:x^n=x^{m-n}$; $\;(x^m)^n=x^{mn}$; $\;\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$.
- Lũy thừa mũ chẵn luôn không âm; mũ lẻ cùng dấu với cơ số.
- Tổng các lũy thừa mũ chẵn bằng 0 thì từng hạng tử phải bằng 0.
- $A^2=k>0$ luôn cho hai nghiệm $A=\pm\sqrt{k}$ — đừng quên nghiệm âm.