Phương trình & hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Nhận biết phương trình & hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng $ax + by = c$, trong đó $a, b, c$ là số đã biết và $a, b$ không đồng thời bằng 0 $(a^2 + b^2 \neq 0)$.
- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn: $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$
- mỗi ẩn $x, y$ đều có bậc 1 (không có $x^2, y^2, \sqrt{x}, \dfrac{1}{x}\dots$);
- không có tích hai ẩn dạng $xy$;
- hai hệ số $a, b$ không cùng bằng 0.
Nhận biết nghiệm của phương trình & hệ
- Nghiệm của phương trình $ax + by = c$ là cặp số $(x_0; y_0)$ làm cho $ax_0 + by_0 = c$ (đẳng thức đúng).
- Nghiệm của hệ là cặp số $(x_0; y_0)$ đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình.
1 Nhận biết phương trình và nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho các phương trình: $2x - 3y = 6$ (1); $\;0x + 5y = -10$ (2); $\;4x + 0y = 0$ (3); $\;x^2 + y = 3$ (4); $\;3x - 2xy + 1 = 0$ (5).
a) Phương trình nào là bậc nhất hai ẩn? Chỉ ra hệ số $a, b, c$.
b) Với các cặp $(3; 0)$, $(0; -2)$, $(1; 1)$, $(5; -2)$: cặp nào là nghiệm của (1)? của (2)?
c) Tìm nghiệm tổng quát và nêu cách vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của (1).
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: kiểm tra dạng $ax + by = c$ với $a, b$ không cùng bằng 0, ẩn bậc 1, không có $xy$.a)
- (1) $2x - 3y = 6$: là bậc nhất hai ẩn, $a = 2,\ b = -3,\ c = 6$.
- (2) $0x + 5y = -10$: là, $a = 0,\ b = 5,\ c = -10$ (vì $a = 0$ nhưng $b \neq 0$).
- (3) $4x + 0y = 0$: là, $a = 4,\ b = 0,\ c = 0$.
- (4) $x^2 + y = 3$: không, vì có $x^2$ (bậc hai).
- (5) $3x - 2xy + 1 = 0$: không, vì có tích $xy$.
b) Phương trình (1): $2x - 3y = 6$
- $(3; 0)$: $2\cdot 3 - 3\cdot 0 = 6$ → cặp $(3; 0)$ là nghiệm của (1).
- $(0; -2)$: $2\cdot 0 - 3\cdot(-2) = 6$ → cặp $(0; -2)$ là nghiệm của (1).
- $(1; 1)$: $2\cdot 1 - 3\cdot 1 = -1 \neq 6$ → cặp $(1; 1)$ không là nghiệm.
- $(5; -2)$: $2\cdot 5 - 3\cdot(-2) = 16 \neq 6$ → cặp $(5; -2)$ không là nghiệm.
Vậy trong các cặp đã cho, $(3; 0)$ và $(0; -2)$ là nghiệm của phương trình (1).
Phương trình (2): $0x + 5y = -10 \Leftrightarrow y = -2$ (không phụ thuộc $x$).
- $(0; -2)$ và $(5; -2)$ có $y = -2$ → hai cặp này là nghiệm của (2).
- $(3; 0)$ và $(1; 1)$ có $y \neq -2$ → hai cặp này không là nghiệm.
Vậy trong các cặp đã cho, $(0; -2)$ và $(5; -2)$ là nghiệm của phương trình (2).
c) Từ (1): $2x - 3y = 6 \Rightarrow y = \dfrac{2x - 6}{3}$.
Nghiệm tổng quát: $\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = \dfrac{2x - 6}{3} \end{cases}$
Cách vẽ đường thẳng $2x - 3y = 6$ — tìm giao điểm với hai trục:
- $x = 0 \Rightarrow y = -2$, được $A(0; -2)$ trên $Oy$.
- $y = 0 \Rightarrow x = 3$, được $B(3; 0)$ trên $Ox$.
Vẽ đường thẳng đi qua $A(0; -2)$ và $B(3; 0)$ — đó là đường biểu diễn tập nghiệm của (1).
Đường thẳng $2x - 3y = 6$
2 Nhận biết và kiểm tra nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho các hệ:
$$\text{(I)}\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \qquad \text{(II)}\begin{cases} 3x^2 + y = 4 \\ x - y = 1 \end{cases} \qquad \text{(III)}\begin{cases} 0x + 0y = 5 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases}$$
a) Hệ nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn? Vì sao?
b) Cặp $(3; 1)$ có là nghiệm của hệ (I) không?
c) Tìm $m$ để $(2; -1)$ là nghiệm của hệ $\begin{cases} mx - y = 5 \\ 3x + 2my = 4 \end{cases}$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: hệ phải gồm hai phương trình, mỗi cái đều là bậc nhất hai ẩn.a)
- Hệ (I): cả hai $x - 2y = 1$ và $2x + y = 7$ đều bậc nhất hai ẩn → là hệ bậc nhất hai ẩn.
- Hệ (II): $3x^2 + y = 4$ có $x^2$ → không.
- Hệ (III): $0x + 0y = 5$ có $a = b = 0$ → không.
b) Thay $(3; 1)$ vào hệ (I):
- PT 1: $x - 2y = 3 - 2\cdot 1 = 1$ ✓
- PT 2: $2x + y = 2\cdot 3 + 1 = 7$ ✓
Thỏa đồng thời cả hai → $(3; 1)$ là một nghiệm của hệ (I).
c) Thay $(2; -1)$ vào từng phương trình:
- PT 1: $2m + 1 = 5 \Rightarrow m = 2$.
- PT 2: $6 - 2m = 4 \Rightarrow m = 1$.
3 Bài toán thực tế — thiết lập phương trình và hệ phương trình
Bạn An mua hai loại vở quyên góp: loại A giá 12 000 đ/quyển, loại B giá 15 000 đ/quyển.
a) Gọi $x, y$ là số quyển loại A, B. Viết phương trình bậc nhất hai ẩn biết tổng tiền là 360 000 đồng.
b) Biết An mua tất cả 26 quyển. Lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
c) Cặp $(10; 16)$ có thỏa hệ ở câu b không? Nêu ý nghĩa thực tiễn.
📊 Tóm tắt bài toán bằng bảng
Với bài toán lời văn, hãy gọi ẩn rồi kẻ bảng để sắp xếp dữ kiện. Mỗi hàng là một đối tượng, mỗi cột là một đại lượng; cột "Thành tiền" $=$ "Số quyển" $\times$ "Giá".
| Đối tượng | Số quyển | Giá (đồng/quyển) | Thành tiền (đồng) |
|---|---|---|---|
| Vở loại A | $x$ | $12\,000$ | $12\,000\,x$ |
| Vở loại B | $y$ | $15\,000$ | $15\,000\,y$ |
| Tổng cộng | $x + y = 26$ | — | $360\,000$ |
Đọc bảng để lập phương trình:
- Cột "Số quyển" → hàng Tổng: $\;x + y = 26$.
- Cột "Thành tiền" → cộng hai hàng A, B bằng hàng Tổng: $\;12\,000x + 15\,000y = 360\,000$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: chuyển dữ kiện thực tế thành dạng $ax + by = c$; nhớ đặt điều kiện và rút gọn.Điều kiện: $x, y \in \mathbb{N}$.
a) Tổng tiền: $12000x + 15000y = 360000$. Chia hai vế cho $3000$:
$4x + 5y = 120$
b) Tổng số vở 26 quyển: $x + y = 26$. Kết hợp câu a:
$$\begin{cases} x + y = 26 \\ 4x + 5y = 120 \end{cases}$$
Dùng Lý thuyết 2: kiểm tra cặp số có đúng cả hai phương trình của hệ không.c) Thay $(10; 16)$:
- PT 1: $x + y = 10 + 16 = 26$ ✓
- PT 2: $4\cdot 10 + 5\cdot 16 = 40 + 80 = 120$ ✓
Thỏa cả hai → là nghiệm của hệ.
Ý nghĩa thực tiễn: An mua 10 quyển loại A và 16 quyển loại B, tổng 26 quyển đúng với 360 000 đồng.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Luôn kiểm tra kĩ bậc của ẩn và điều kiện $a, b$ không đồng thời bằng 0; tích dạng $xy$ là bẫy bậc hai.
- Một cặp $(x; y)$ là nghiệm của hệ ⇔ phải thỏa đồng thời cả hai phương trình cùng lúc.
- Với bài toán thực tế: bắt buộc đặt điều kiện cho ẩn và nên rút gọn hệ số cho dễ tính.
- Mẹo lập phương trình: gọi ẩn xong hãy kẻ bảng tóm tắt — mỗi hàng là một đối tượng (hoặc một trường hợp/giai đoạn như: lúc đầu – lúc sau, đi – về, làm riêng – làm chung), mỗi cột là một đại lượng. Mỗi quan hệ "tổng" trong đề cho ta một phương trình của hệ.