Ôn tập cuối chương I
Phương trình & hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ thống hóa — ý nghĩa hình học của nghiệm
- Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ ($a, b$ không cùng $0$) luôn có vô số nghiệm, tập nghiệm là một đường thẳng trên mặt phẳng $Oxy$.
- Nghiệm của hệ là giao điểm của hai đường thẳng đó.
Xử lí hệ biến đổi phức tạp & đặt ẩn phụ
- Hệ chứa biểu thức cồng kềnh (nhân đa thức, phân số): khai triển – quy đồng – thu gọn về dạng $ax + by = c$ rồi giải.
- Hệ chứa ẩn ở mẫu hoặc lũy thừa ($\dfrac{1}{x},\ (2x+1)^2,\ x^3\dots$): đặt ẩn phụ để đưa về hệ bậc nhất, giải xong quay lại tìm ẩn gốc và đối chiếu điều kiện.
Vận dụng — lập hệ cho bài toán thực tế
Nhận dạng bài toán (chuyển động, năng suất, phần trăm, hình học, cân bằng phản ứng…) → chọn ẩn, đặt điều kiện → lập đủ hai phương trình → giải và đối chiếu.
1 Hệ có biểu thức cồng kềnh — khai triển, quy đồng
a) $\begin{cases} -2(x+1) + 3(y-2) = 0 \\ 3x - 2(y+1) = 3 \end{cases}$
b) $\begin{cases} \dfrac{3-x}{2} - \dfrac{y+2}{3} = \dfrac{5}{6} \\ 3x - y = 1 \end{cases}$
c) $\begin{cases} (3-x)(y+1) + (x+2)(y-1) = 0 \\ 2x + 3y = -5 \end{cases}$
d) $\begin{cases} (2x-1)(y+1) - 2(x+2)(y-5) = 20 \\ \dfrac{3-x}{5} - \dfrac{1-y}{2} = \dfrac{3}{10} \end{cases}$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: khai triển/quy đồng đưa về dạng $ax + by = c$ rồi dùng cộng đại số.Câu a)
- PT1: $-2(x+1) + 3(y-2) = 0 \Rightarrow -2x + 3y = 8$.
- PT2: $3x - 2(y+1) = 3 \Rightarrow 3x - 2y = 5$.
Nhân PT1 với $3$, PT2 với $2$ rồi cộng: $5y = 34 \Rightarrow y = \dfrac{34}{5}$. Từ PT2: $x = \dfrac{31}{5}$. Nghiệm: $\left(\dfrac{31}{5}; \dfrac{34}{5}\right)$.
Câu b)
Quy đồng PT1 (nhân $6$): $3(3-x) - 2(y+2) = 5 \Rightarrow 3x + 2y = 0$.
Hệ $\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$ trừ vế với vế: $3y = -1 \Rightarrow y = -\dfrac{1}{3}$, suy ra $x = \dfrac{2}{9}$. Nghiệm: $\left(\dfrac{2}{9}; -\dfrac{1}{3}\right)$.
Câu c)
Khai triển PT1: $(3-x)(y+1) + (x+2)(y-1) = -2x + 5y + 1 = 0 \Rightarrow 2x - 5y = 1$.
Hệ $\begin{cases} 2x - 5y = 1 \\ 2x + 3y = -5 \end{cases}$ trừ vế với vế: $-8y = 6 \Rightarrow y = -\dfrac{3}{4}$, suy ra $x = -\dfrac{11}{8}$. Nghiệm: $\left(-\dfrac{11}{8}; -\dfrac{3}{4}\right)$.
Câu d)
Khai triển PT1: $(2x-1)(y+1) - 2(x+2)(y-5) = 12x - 5y + 19 = 20 \Rightarrow 12x - 5y = 1$.
Quy đồng PT2 (nhân $10$): $2(3-x) - 5(1-y) = 3 \Rightarrow 2x - 5y = -2$.
Hệ $\begin{cases} 12x - 5y = 1 \\ 2x - 5y = -2 \end{cases}$ trừ vế với vế: $10x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{10}$, suy ra $y = \dfrac{13}{25}$. Nghiệm: $\left(\dfrac{3}{10}; \dfrac{13}{25}\right)$.
2 Hệ chứa ẩn ở mẫu / lũy thừa — đặt ẩn phụ
a) $\begin{cases} \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{y} = -2 \\ \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = 3 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (2x+1)^2 - 3(y+1) = 1 \\ 2(2x+1)^2 - y = 8 \end{cases}$
c) $\begin{cases} \dfrac{2}{x+1} - \dfrac{5}{y-2} = -3 \\ \dfrac{-1}{x+1} + \dfrac{3}{y-2} = 2 \end{cases}$
d) $\begin{cases} 3x^3 - (2y-5)^3 = 23 \\ 2x^3 + 3(2y-5)^3 = 19 \end{cases}$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: đặt ẩn phụ đưa về hệ bậc nhất, giải xong nhớ quay lại ẩn gốc và đối chiếu điều kiện.Câu a)
Điều kiện $x, y \neq 0$. Đặt $a = \dfrac{1}{x},\ b = \dfrac{1}{y}$: $\begin{cases} a - 3b = -2 \\ 2a + b = 3 \end{cases}$
Từ PT2: $b = 3 - 2a$, thế vào PT1: $7a - 9 = -2 \Rightarrow a = 1,\ b = 1$. Suy ra $x = 1,\ y = 1$. Nghiệm: $(1; 1)$.
Câu b)
Đặt $u = (2x+1)^2 \geq 0$: $\begin{cases} u - 3y = 4 \\ 2u - y = 8 \end{cases}$ giải được $y = 0,\ u = 4$.
$(2x+1)^2 = 4 \Rightarrow 2x + 1 = \pm 2 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$ hoặc $x = -\dfrac{3}{2}$. Nghiệm: $\left(\dfrac{1}{2}; 0\right)$ và $\left(-\dfrac{3}{2}; 0\right)$.
Câu c)
Điều kiện $x \neq -1,\ y \neq 2$. Đặt $a = \dfrac{1}{x+1},\ b = \dfrac{1}{y-2}$: $\begin{cases} 2a - 5b = -3 \\ -a + 3b = 2 \end{cases}$ giải được $a = 1,\ b = 1$.
$\dfrac{1}{x+1} = 1 \Rightarrow x = 0$; $\dfrac{1}{y-2} = 1 \Rightarrow y = 3$. Nghiệm: $(0; 3)$.
Câu d)
Đặt $p = x^3,\ q = (2y-5)^3$: $\begin{cases} 3p - q = 23 \\ 2p + 3q = 19 \end{cases}$ giải được $p = 8,\ q = 1$.
$x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$; $(2y-5)^3 = 1 \Rightarrow 2y - 5 = 1 \Rightarrow y = 3$. Nghiệm: $(2; 3)$.
3 Vận dụng liên môn — cân bằng phương trình hóa học
a) $x\text{Fe} + y\text{Cl}_2 \rightarrow 2\text{FeCl}_3$
b) $x\text{C}_3\text{H}_8 + y\text{O}_2 \rightarrow 3\text{CO}_2 + 4\text{H}_2\text{O}$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: mỗi nguyên tố phải bằng số nguyên tử ở hai vế → mỗi nguyên tố cho một phương trình.Câu a)
- Fe: $x = 2$.
- Cl: $2y = 2\cdot 3 = 6 \Rightarrow y = 3$.
Vậy $x = 2,\ y = 3$: $2\text{Fe} + 3\text{Cl}_2 \rightarrow 2\text{FeCl}_3$.
Câu b)
- C: $3x = 3 \Rightarrow x = 1$.
- H: $8x = 2\cdot 4 = 8 \Rightarrow x = 1$ (phù hợp).
- O: $2y = 3\cdot 2 + 4 = 10 \Rightarrow y = 5$.
Vậy $x = 1,\ y = 5$: $\text{C}_3\text{H}_8 + 5\text{O}_2 \rightarrow 3\text{CO}_2 + 4\text{H}_2\text{O}$.
4 Toán thực tế — tỉ lệ phần trăm đỗ
Hai trường THCS có tất cả $500$ học sinh dự thi vào lớp 10. Trường thứ nhất có $90\%$ đỗ, trường thứ hai có $70\%$ đỗ, cả hai trường có $448$ học sinh đỗ. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: chọn ẩn là số dự thi mỗi trường; phương trình tổng dự thi và tổng đỗ.Gọi số dự thi trường 1 là $x$, trường 2 là $y$ ($x, y \in \mathbb{N}^*$).
Hệ: $\begin{cases} x + y = 500 \\ 0{,}9x + 0{,}7y = 448 \end{cases}$ Từ PT1: $y = 500 - x$, thế vào PT2: $0{,}2x + 350 = 448 \Rightarrow x = 490$, suy ra $y = 10$.
Đối chiếu (thỏa mãn). Vậy trường thứ nhất có $490$ học sinh, trường thứ hai có $10$ học sinh.
5 Toán thực tế — giá niêm yết và giảm giá
Một hiệu sách giảm $25\%$ mỗi cây bút và $15\%$ mỗi quyển vở so với giá niêm yết. Bạn Minh mua $30$ quyển vở và $20$ cây bút, đưa $450\,000$ đồng và được trả lại $9\,000$ đồng. Tính giá niêm yết mỗi quyển vở và mỗi cây bút, biết tổng tiền nếu không giảm giá là $540\,000$ đồng.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: giảm $15\%$ → còn $0{,}85$; giảm $25\%$ → còn $0{,}75$. Tiền thực trả $= $ tiền đưa $-$ tiền thối.Gọi giá niêm yết mỗi quyển vở là $v$, mỗi cây bút là $b$ (đồng), $v, b > 0$. Tiền thực trả: $450\,000 - 9\,000 = 441\,000$ đồng.
- Không giảm: $30v + 20b = 540\,000 \Leftrightarrow 3v + 2b = 54\,000$.
- Sau giảm: $30\cdot 0{,}85v + 20\cdot 0{,}75b = 441\,000 \Leftrightarrow 17v + 10b = 294\,000$.
Hệ: $\begin{cases} 3v + 2b = 54\,000 \\ 17v + 10b = 294\,000 \end{cases}$ Nhân PT1 với $5$ rồi trừ khỏi PT2: $2v = 24\,000 \Rightarrow v = 12\,000$, suy ra $b = 9\,000$.
Đối chiếu (thỏa mãn). Vậy giá niêm yết mỗi quyển vở là $12\,000$ đồng, mỗi cây bút là $9\,000$ đồng.
6 Toán hình học — diện tích hình chữ nhật
Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài $10$ m, tăng chiều rộng $5$ m thì diện tích tăng $500$ m². Nếu giảm chiều dài $15$ m và giảm chiều rộng $9$ m thì diện tích giảm $600$ m². Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: diện tích $= $ dài $\times$ rộng; khai triển rồi rút gọn (phần $xy$ triệt tiêu).Gọi chiều dài là $x$, chiều rộng là $y$ (m), điều kiện $x > 15,\ y > 9$.
- $(x+10)(y+5) = xy + 500 \Rightarrow 5x + 10y + 50 = 500 \Rightarrow x + 2y = 90$.
- $(x-15)(y-9) = xy - 600 \Rightarrow -9x - 15y + 135 = -600 \Rightarrow 3x + 5y = 245$.
Hệ: $\begin{cases} x + 2y = 90 \\ 3x + 5y = 245 \end{cases}$ Từ PT1: $x = 90 - 2y$, thế vào PT2: $270 - y = 245 \Rightarrow y = 25$, suy ra $x = 40$.
Đối chiếu: $x = 40 > 15,\ y = 25 > 9$ (thỏa mãn). Vậy chiều dài $40$ m, chiều rộng $25$ m.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Với hệ chứa biểu thức cồng kềnh (nhân đa thức, phân số): khai triển – quy đồng – thu gọn về dạng $ax + by = c$ trước rồi mới giải.
- Với hệ chứa ẩn ở mẫu hoặc lũy thừa: nên đặt ẩn phụ để đưa về hệ bậc nhất, giải xong nhớ quay lại tìm ẩn gốc và đối chiếu điều kiện.
- Khi khai căn / mở lũy thừa chẵn (như $(2x+1)^2$), đừng quên dấu $\pm$ → có thể sinh thêm nghiệm.
- Bài toán thực tế: luôn đặt điều kiện cho ẩn và đối chiếu nghiệm trước khi kết luận.