Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải hệ là gì & số nghiệm của hệ
- Giải hệ là tìm tất cả các nghiệm (cặp số) thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình.
- Một hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, hoặc vô nghiệm.
- còn lại phương trình giải ra giá trị cụ thể → nghiệm duy nhất;
- được $0 = 0$ (luôn đúng) → hệ vô số nghiệm;
- được dạng vô lí như $0 = 5$ → hệ vô nghiệm.
Phương pháp thế
Rút một ẩn từ một phương trình theo ẩn còn lại, rồi thế vào phương trình kia để được phương trình một ẩn.
- Từ một phương trình, biểu diễn ẩn này theo ẩn kia (ưu tiên ẩn có hệ số $1$ hoặc $-1$).
- Thế vào phương trình còn lại, giải ra một ẩn.
- Thay ngược lại tìm ẩn kia rồi kết luận.
Phương pháp cộng (trừ) đại số
Nhân hai phương trình với số thích hợp để một ẩn có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau, rồi cộng/trừ vế với vế để khử ẩn đó.
- Nhân để hệ số của một ẩn đối nhau / bằng nhau.
- Cộng (nếu đối nhau) hoặc trừ (nếu bằng nhau) vế với vế, được phương trình một ẩn.
- Giải và thay ngược lại để kết luận.
1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
a) $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 8 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 3x - 5y = -2 \\ -5x + y = -4 \end{cases}$
c) $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases}$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: rút ẩn có hệ số $1$ hoặc $-1$ để thế cho khỏi dính phân số.a) Từ phương trình 1: $x = 5 - 2y$. Thế vào phương trình 2:
$$3(5 - 2y) - y = 8 \Rightarrow 15 - 6y - y = 8 \Rightarrow -7y = -7 \Rightarrow y = 1.$$
Suy ra $x = 5 - 2\cdot 1 = 3$. Nghiệm: $(x; y) = (3; 1)$.
b) Từ phương trình 2: $y = 5x - 4$. Thế vào phương trình 1:
$$\begin{aligned} 3x - 5(5x - 4) = -2 &\Rightarrow 3x - 25x + 20 = -2 \\ &\Rightarrow -22x = -22 \\ &\Rightarrow x = 1. \end{aligned}$$
Suy ra $y = 5\cdot 1 - 4 = 1$. Nghiệm: $(x; y) = (1; 1)$.
c) Từ phương trình 1: $x = \dfrac{5 - 3y}{2}$. Thế vào phương trình 2:
$$\begin{aligned} 3\cdot\dfrac{5 - 3y}{2} - 2y = 1 &\Rightarrow \dfrac{15 - 9y}{2} - 2y = 1 \\ &\Rightarrow 15 - 9y - 4y = 2 \\ &\Rightarrow -13y = -13 \\ &\Rightarrow y = 1. \end{aligned}$$
Suy ra $x = \dfrac{5 - 3}{2} = 1$. Nghiệm: $(x; y) = (1; 1)$.
2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng (trừ) đại số
a) $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 2x - 5y = -2 \\ 2x + 7y = 10 \end{cases}$
c) $\begin{cases} 2x + 3y = -1 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: đối nhau thì cộng, bằng nhau thì trừ; nếu chưa đối/bằng thì nhân thêm số cho phù hợp.a) Hệ số của $y$ đã đối nhau → cộng vế với vế:
$$(x + 2y) + (3x - 2y) = 4 + 4 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2.$$
Thay vào phương trình 1: $2 + 2y = 4 \Rightarrow y = 1$. Nghiệm: $(2; 1)$.
b) Hệ số của $x$ giống nhau → trừ vế với vế:
$$(2x + 7y) - (2x - 5y) = 10 - (-2) \Rightarrow 12y = 12 \Rightarrow y = 1.$$
Thay vào phương trình 1: $2x - 5 = -2 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$. Nghiệm: $\left(\dfrac{3}{2}; 1\right)$.
c) Nhân phương trình 1 với $2$, phương trình 2 với $3$ để hệ số của $y$ đối nhau:
$$\begin{cases} 4x + 6y = -2 \\ 9x - 6y = 15 \end{cases}$$
Cộng vế với vế: $13x = 13 \Rightarrow x = 1$. Thay vào phương trình 1 gốc: $2 + 3y = -1 \Rightarrow y = -1$. Nghiệm: $(1; -1)$.
3 Giải hệ chứa tham số — chọn phương pháp phù hợp
Cho hệ phương trình $\begin{cases} mx + 4y = 10 - m \\ x + my = 4 \end{cases}$
Giải hệ trong các trường hợp: a) $m = 3$; b) $m = 2$; c) $m = -2$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2 & 3: thay giá trị $m$ vào hệ rồi chọn phương pháp; lưu ý kiểm tra số nghiệm.a) $m = 3$: Hệ trở thành $\begin{cases} 3x + 4y = 7 \\ x + 3y = 4 \end{cases}$
Phương pháp thế — từ phương trình 2: $x = 4 - 3y$. Thế vào phương trình 1:
$$3(4 - 3y) + 4y = 7 \Rightarrow 12 - 9y + 4y = 7 \Rightarrow -5y = -5 \Rightarrow y = 1.$$
Suy ra $x = 4 - 3 = 1$. Nghiệm: $(1; 1)$ — nghiệm duy nhất.
b) $m = 2$: Hệ trở thành $\begin{cases} 2x + 4y = 8 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$
Phương trình 1 chia cho $2$ được $x + 2y = 4$, trùng với phương trình 2 → hệ có vô số nghiệm.
Nghiệm tổng quát: $\begin{cases} y \in \mathbb{R} \\ x = 4 - 2y \end{cases}$
c) $m = -2$: Hệ trở thành $\begin{cases} -2x + 4y = 12 \\ x - 2y = 4 \end{cases}$
Phương trình 1 chia cho $-2$ được $x - 2y = -6$, trong khi phương trình 2 là $x - 2y = 4$.
📊 Tóm tắt ba trường hợp
| $m$ | Sau khi biến đổi | Kết luận |
|---|---|---|
| $m = 3$ | $-5y = -5$ (giải được) | Nghiệm duy nhất $(1; 1)$ |
| $m = 2$ | Hai PT trùng nhau ($0 = 0$) | Vô số nghiệm |
| $m = -2$ | $-6 = 4$ (vô lí) | Vô nghiệm |
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Phương pháp thế: ưu tiên khi hệ có hệ số bằng $1$ hoặc $-1$ để rút ẩn ra không bị dính phân số.
- Phương pháp cộng: ưu tiên khi hệ số phức tạp — nhân thêm số thích hợp để đưa về hệ số đối nhau rồi cộng vế với vế.
- Đọc số nghiệm: ra giá trị cụ thể → nghiệm duy nhất; ra $0 = 0$ → vô số nghiệm; ra dạng vô lí ($0 = 5$) → vô nghiệm.
- Nguyên tắc vàng: luôn bấm máy tính cầm tay trước để biết trước đáp số, giúp chủ động kiểm soát và tránh sai dấu khi biến đổi.