Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Quy trình 3 bước
- Chọn ẩn và đặt điều kiện: gọi các đại lượng chưa biết là $x, y$, ghi rõ đơn vị và điều kiện ($x, y > 0$; số người/đồ vật là số tự nhiên…).
- Lập hệ: dựa vào dữ kiện đề bài, biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng thành hai phương trình.
- Giải và kết luận: giải hệ, đối chiếu nghiệm với điều kiện (ghi "thỏa mãn"/"loại") rồi trả lời câu hỏi của đề.
Nhận dạng & cách lập phương trình theo dạng toán
- Chuyển động: dùng $S = v\cdot t$; ngược chiều thì cộng quãng đường, cùng chiều/đuổi nhau thì trừ.
- Làm chung – làm riêng (năng suất): coi cả công việc là $1$ đơn vị, mỗi đơn vị thời gian làm được $\dfrac{1}{x}$ công việc; cộng các phần việc lại bằng $1$.
- Phần trăm/tăng giảm: "vượt mức $25\%$" nghĩa là nhân $1{,}25$; "giảm $15\%$" nghĩa là còn $0{,}85$ giá trị.
- Số học/hình học: dùng quan hệ "thương – số dư" ($a = bq + r$), công thức chu vi – diện tích.
1 Toán số học — thương và số dư
Tìm hai số tự nhiên, biết tổng của chúng bằng $112$ và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là $4$, số dư là $2$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: quan hệ "thương – số dư" cho công thức $a = bq + r$.Gọi số lớn là $x$, số nhỏ là $y$ ($x, y \in \mathbb{N},\ y > 2$ vì số dư là $2$).
- Tổng hai số bằng $112$: $x + y = 112$.
- Số lớn chia số nhỏ được thương $4$, dư $2$: $x = 4y + 2$.
Hệ: $\begin{cases} x + y = 112 \\ x = 4y + 2 \end{cases}$
Thế phương trình 2 vào phương trình 1: $(4y + 2) + y = 112 \Rightarrow 5y = 110 \Rightarrow y = 22$. Suy ra $x = 4\cdot 22 + 2 = 90$.
Đối chiếu: $x = 90,\ y = 22 \in \mathbb{N}$, $y = 22 > 2$ (thỏa mãn). Vậy hai số cần tìm là $90$ và $22$.
2 Toán chuyển động — hai xe ngược chiều
Hai xe khởi hành cùng lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau $120$ km, đi ngược chiều và gặp nhau sau $3$ giờ. Nếu xe thứ nhất xuất phát trước xe thứ hai $2$ giờ $40$ phút thì hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đi được $1$ giờ. Tìm tốc độ mỗi xe.
📊 Tóm tắt bằng bảng
Gọi tốc độ xe 1 là $x$, xe 2 là $y$ (km/h). Mỗi trường hợp gặp nhau cho một phương trình "tổng quãng đường $= 120$".
| Trường hợp | Thời gian xe 1 | Thời gian xe 2 | Phương trình |
|---|---|---|---|
| Cùng xuất phát | $3$ h | $3$ h | $3x + 3y = 120$ |
| Xe 1 đi trước $2$h$40'$ | $\dfrac{11}{3}$ h | $1$ h | $\dfrac{11}{3}x + y = 120$ |
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: ngược chiều → tổng quãng đường bằng khoảng cách; nhớ đổi $2$h$40'=\dfrac{8}{3}$ h.Gọi tốc độ xe thứ nhất là $x$, xe thứ hai là $y$ (km/h), điều kiện $x, y > 0$.
Trường hợp 1: gặp nhau sau $3$ giờ, tổng quãng đường $120$ km:
$$3x + 3y = 120 \Leftrightarrow x + y = 40.$$
Trường hợp 2: $2$h$40' = \dfrac{8}{3}$ giờ. Xe 2 đi $1$ giờ thì gặp, lúc đó xe 1 đã đi $1 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{11}{3}$ giờ:
$$\dfrac{11}{3}x + 1\cdot y = 120.$$
Hệ: $\begin{cases} x + y = 40 \\ \dfrac{11}{3}x + y = 120 \end{cases}$ Trừ vế với vế: $\dfrac{8}{3}x = 80 \Rightarrow x = 30$, suy ra $y = 10$.
Đối chiếu (thỏa mãn). Vậy tốc độ xe thứ nhất là $30$ km/h, xe thứ hai là $10$ km/h.
3 Toán chuyển động — xuôi/ngược dòng (đặt ẩn phụ)
Một ca nô xuôi dòng $66$ km và ngược dòng $54$ km hết tất cả $4$ giờ. Lần khác xuôi dòng $11$ km và ngược dòng $18$ km hết tất cả $1$ giờ. Tính tốc độ ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng (tốc độ dòng nước và tốc độ riêng không đổi).
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: thời gian $= \dfrac{\text{quãng đường}}{\text{tốc độ}}$; ẩn nằm ở mẫu nên đặt ẩn phụ $\dfrac1x, \dfrac1y$.Gọi tốc độ xuôi dòng là $x$, ngược dòng là $y$ (km/h), điều kiện $x > y > 0$. Ta có hệ:
$$\begin{cases} \dfrac{66}{x} + \dfrac{54}{y} = 4 \\ \dfrac{11}{x} + \dfrac{18}{y} = 1 \end{cases}$$
Đặt $a = \dfrac{1}{x},\ b = \dfrac{1}{y}$ ($a, b > 0$):
$$\begin{cases} 66a + 54b = 4 \\ 11a + 18b = 1 \end{cases}$$
Nhân PT2 với $3$: $33a + 54b = 3$. Trừ khỏi PT1: $33a = 1 \Rightarrow a = \dfrac{1}{33}$. Thay vào PT2: $\dfrac{1}{3} + 18b = 1 \Rightarrow b = \dfrac{1}{27}$.
Suy ra $x = \dfrac{1}{a} = 33,\ y = \dfrac{1}{b} = 27$.
Đối chiếu: $x = 33 > y = 27 > 0$ (thỏa mãn). Vậy tốc độ xuôi dòng $33$ km/h, ngược dòng $27$ km/h.
4 Toán năng suất — vượt mức phần trăm
Tháng đầu hai tổ sản xuất được $300$ chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vượt mức $25\%$, tổ II vượt mức $20\%$ nên cả hai tổ làm được $370$ chi tiết. Hỏi tháng đầu mỗi tổ làm được bao nhiêu chi tiết máy?
📊 Tóm tắt bằng bảng
| Tổ | Tháng đầu | Tháng hai |
|---|---|---|
| Tổ I | $x$ | $1{,}25x$ |
| Tổ II | $y$ | $1{,}20y$ |
| Tổng | $x + y = 300$ | $1{,}25x + 1{,}2y = 370$ |
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: vượt mức $25\%$ → nhân $1{,}25$; vượt $20\%$ → nhân $1{,}2$.Gọi số chi tiết tổ I, tổ II làm tháng đầu là $x, y$ ($x, y \in \mathbb{N}^*$).
Hệ: $\begin{cases} x + y = 300 \\ 1{,}25x + 1{,}2y = 370 \end{cases}$
Từ PT1: $y = 300 - x$. Thế vào PT2: $1{,}25x + 1{,}2(300 - x) = 370 \Rightarrow 0{,}05x = 10 \Rightarrow x = 200$, suy ra $y = 100$.
Đối chiếu (thỏa mãn). Vậy tháng đầu tổ I làm $200$ chi tiết, tổ II làm $100$ chi tiết.
5 Toán chia nhóm — thừa/thiếu chỗ
Một trường tổ chức cho học sinh đi tham quan bằng ô tô. Xếp mỗi xe $40$ học sinh thì thừa $5$ học sinh; xếp mỗi xe $41$ học sinh thì xe cuối thiếu $3$ học sinh. Hỏi có bao nhiêu học sinh và bao nhiêu ô tô?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: chọn ẩn là số xe và số học sinh; mỗi cách xếp cho một phương trình.Gọi số ô tô là $x$ (xe), số học sinh là $y$, $x, y \in \mathbb{N}^*$.
- Xếp $40$ HS/xe thì thừa $5$: $y = 40x + 5$.
- Xếp $41$ HS/xe thì xe cuối thiếu $3$ (cần $41x$ chỗ nhưng thiếu $3$ HS): $y = 41x - 3$.
Hệ: $\begin{cases} y = 40x + 5 \\ y = 41x - 3 \end{cases}$ Cho hai vế bằng nhau: $40x + 5 = 41x - 3 \Rightarrow x = 8$, suy ra $y = 325$.
Đối chiếu (thỏa mãn). Vậy có $8$ ô tô và $325$ học sinh.
6 Toán hình học — diện tích hình chữ nhật
Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng mỗi cạnh lên $1$ cm thì diện tích tăng $13$ cm². Nếu giảm chiều dài $2$ cm, chiều rộng $1$ cm thì diện tích giảm $15$ cm². Tính chiều dài và chiều rộng.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: diện tích HCN $= $ dài $\times$ rộng; khai triển rồi rút gọn (phần $xy$ sẽ triệt tiêu).Gọi chiều dài là $x$, chiều rộng là $y$ (cm), điều kiện $x > 2,\ y > 1$.
- $(x+1)(y+1) = xy + 13 \Rightarrow x + y + 1 = 13 \Rightarrow x + y = 12$.
- $(x-2)(y-1) = xy - 15 \Rightarrow -x - 2y + 2 = -15 \Rightarrow x + 2y = 17$.
Hệ: $\begin{cases} x + y = 12 \\ x + 2y = 17 \end{cases}$ Trừ vế với vế: $y = 5$, suy ra $x = 7$.
Đối chiếu: $x = 7 > 2,\ y = 5 > 1$ (thỏa mãn). Vậy chiều dài $7$ cm, chiều rộng $5$ cm.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Điều kiện của ẩn: phải sát thực tế (con người, đồ vật là số tự nhiên; tốc độ, thời gian chỉ cần $x, y > 0$).
- Đồng nhất đơn vị đo: luôn đổi mọi số liệu về cùng một đơn vị (ví dụ đổi phút ra giờ) trước khi lập phương trình.
- Đối chiếu và kết luận: ra nghiệm xong bắt buộc ghi rõ "Thỏa mãn" hoặc "Loại" theo điều kiện ban đầu trước khi kết luận.
- Mẹo lập hệ: gọi ẩn xong hãy kẻ bảng tóm tắt — mỗi hàng là một đối tượng/trường hợp, mỗi cột là một đại lượng; mỗi quan hệ "tổng" cho một phương trình.